Sucesiones Monótonas.

Presentación del tema: "Sucesiones Monótonas."— Transcripción de la presentación:

1 Sucesiones Monótonas

2 Sucesiones Monótonas Definición
Una sucesión (a1,a2,a3,…) es creciente si an ≤ an+1 para todo n. Una sucesión (a1,a2,a3,…) es decreciente si an+1 ≤ an para todo n.

3 Sucesiones Monótonas Ejemplo En este caso y

4 Sucesiones Monótonas Ejemplo

5 Concluimos que la sucesión
Sucesiones Monótonas Ejemplo para todo n. es creciente Concluimos que la sucesión

6 Una sucesión (a1,a2,a3,…) es monótona si es o creciente o decreciente.
Sucesiones Monótonas Definición Una sucesión (a1,a2,a3,…) es monótona si es o creciente o decreciente. Una sucesión (a1,a2,a3,…) está acotada si existen dos números M y m tales que m ≤ an ≤ M para todo n.

7 Una sucesión monótona y acotada tiene límite finito (es convergente).
Sucesiones Monótonas Teorema Una sucesión monótona y acotada tiene límite finito (es convergente).

8 Una sucesión monótona y acotada tiene límite finito (es convergente).
Sucesiones Monótonas Teorema Una sucesión monótona y acotada tiene límite finito (es convergente). Se observa que es suficiente demostrar el teorema para sucesiones crecientes (an), ya que si (an) es decreciente, basta con considerar la sucesión creciente (-an).

9 Una sucesión monótona y acotada tiene límite finito (es convergente).
Sucesiones Monótonas Teorema Una sucesión monótona y acotada tiene límite finito (es convergente). Demostración Sea (a1,a2,a3,…) una sucesión creciente acotada. … a2 an+1 a1 … an

10 Una sucesión monótona y acotada tiene límite finito (es convergente).
Sucesiones Monótonas Teorema Una sucesión monótona y acotada tiene límite finito (es convergente). Demostración Como el conjunto de los números reales es completo, entonces s = sup {a1,a2,a3,…} es finito. … a2 an+1 a1 … an

11 Sucesiones Monótonas Afirmación Demostración de la afirmación
Sea ε > 0. Hay que encontrar un número nε tal que n > nε ⇒ |an – s| < ε.

12 Sucesiones Monótonas Afirmación Demostración de la afirmación
Sea ε > 0. ε Si n>nε, an debe estar aquí. Debemos encontrar nε como se muestra en la figura. a1 a2 … an an+1

13 Sucesión Monótona Afirmación ε Demostración de la afirmación a1 a2 …
an an+1 Como s = sup{an} y como ε > 0, existe un número nε tal que

14 Sucesión Monótona Afirmación ε Demostración de la afirmación a1 a2 …
an an+1 Como (an) es creciente se tiene que para n > nε , Entonces |an - s| < ε, si n > nε.

15 Una sucesión monótona y acotada tiene límite finito (es convergente).
Sucesiones Monótonas Teorema Una sucesión monótona y acotada tiene límite finito (es convergente).

16 Cálculo en una variable
Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä