En busca de la verdad … ….por el camino de las Matemáticas Área Ciencia-Religión del Centro Pignatelli Javier Otal Universidad de Zaragoza

En busca de la verdad … VERDAD (DRAE) Conformidad de las cosas con el concepto que de ellas se forma la mente Conformidad de lo que se dice con lo que se siente o se piensa Juicio o proposición que no se puede negar racionalmente ....

Verdad … … probada Verdad procesal … transmitida Verdad revelada … impuesta Verdad dogmática … científica Verdad matemática

Conocimiento Descartes (1596-1650)

Conocimiento Lo que no entendemos crea desconfianza producida por desconocimiento El desconocimiento genera ignorancia El ignorante afirma o niega El científico duda Voltaire

Procedimiento científico En la ciencia es imperativo dudar Para avanzar en la ciencia es necesaria la incertidumbre Se investiga lo desconocido En las ciencias experimentales se va conociendo lo que es más probable En las ciencias puras se responde a preguntas ¿Puede la Ciencia destruir el mundo?

R. Feynman (1918-1988) Yo puedo vivir con dudas e incertidumbre y sin saber. Es más interesante vivir sin saber que tener respuestas que pueden ser falsas. Yo tengo respuestas aproximadas, creencias posibles y grados diferentes de certeza sobre asuntos diferentes, pero no estoy absolutamente seguro de nada. Y no me asusta.

El papel de las Matemáticas Ciencia exacta Conocimiento del mundo lo explican lo modelan Lo ayudan a desarrollarse Planteamiento abstracto Axiomas, Postulados Armonía y equilibrio Teoremas, resultados, demostraciones

Demostraciones … Demostraciones por ordenador Comprobaciones Cálculos por ordenador: 1 = 0,999….? Cálculos manuales: ∏ = 3,14 = 3,1416 = 3,141559 … Teorema de Pitágoras: a2= b2 + c 2.

Conocimiento científico y realidad Diferencias entre Lo que es lo que creemos que es lo que creemos percibir

Ejemplo IR EN LÍNEA RECTA A UN SITIO

Ir en línea recta

Ir en línea recta

Ir en línea recta

La recta La recta plana Concebida como recta euclidiana Euclides La línea recta es la trayectoria con la distancia más corta entre dos puntos

Analogía Si la línea recta es la trayectoria con la distancia más corta entre dos puntos ¿cúal es la trayectoria más corta de aquí a Nueva Zelanda (antípodas)?

Tierra

España – Nueva Zelanda

… en línea recta!

Desplazamiento correcto

Problema DESCRIBIR (definir) LÍNEA RECTA

Elementos de Euclides Euclides (365 AC – 300 AC) 13 libros, ampliados con dos más 23 axiomas 5 postulados Multitud de proposiciones (teoremas)

Axiomas de Euclides - 1 Un punto es lo que no tiene parte ni dimensión Dimensión cero Una línea es una longitud sin anchura Dimensión uno Una recta es una línea que tiene todos sus puntos en la misma dirección Una superficie es la que tiene solo longitud y anchura Dimensión dos

Punto

Recta

Axiomas de Euclides - 2 Un ángulo plano es la inclinación de dos líneas planas secantes Ángulo recto, si las líneas son rectas Figuras rectilíneas

Axiomas de Euclides - 3 Círculo es una figura plana contenida en una línea, llamada circunferencia, tal que todas las rectas que van desde un punto particular hasta puntos de ella, quedando dentro de la figura son iguales Plaza circular Rueda Rectas paralelas son las que, estando en el mismo plano y prolongándolas indefinidamente en ambos sentidos, no se cortan ni en uno ni en el otro sentido Vías del tren Calle

Paralelas

Postulados de Euclides Una recta puede trazarse desde un punto cualquiera hasta otro. Una recta finita puede prolongarse continuamente y hacerse una recta ilimitada o indefinida Una circunferencia puede describirse con un centro y una distancia Todos los ángulos rectos son iguales

El quinto postulado Si una recta que corte a otras dos forma con éstas ángulos interiores del mismo lado de ella que sumados sean menores que dos rectos, las dos rectas, si se prolongan indefinidamente, se cortan del lado en que dicha suma de ángulos sea menor que dos rectos Postulado del paralelismo Por un punto exterior a una recta pasa una única paralela

Calle - 1

Calle - 2

Calle - 3

Geometría sobre la superficie de la Tierra PLANO : una esfera PUNTO: dos puntos diametralmente opuestos

Plano

Punto

Geometría sobre la superficie de la Tierra RECTA: círculo máximo

Recta

Recta

Recta

Recta = círculo máximo

Recta = círculo máximo

Geometría sobre la superficie de la Tierra SE VERIFICAN LOS PRIMEROS POSTULADOS CONVENIENTEMENTE MODIFICADOS

Punto y recta

Punto y recta

Punto y recta

Punto y recta

Punto y recta

¡No existe el paralelismo!

Geometría sobre la superficie de la Tierra ES UN MODELO DE GEOMETRÍA NO EUCLÍDEA!

Geometrías no euclídeas Geometría hiperbólica K.F. Gauss (1777-1855) J. Bolyai (1802-1860) N.I. Lobachewski (1792-1856) Geometría elíptica B. Riemann (1826-1866)

F. Dostoyevski (1821-1881) - 1 Me pregunto cuál es nuestro designio. El mío, explicar la esencia de mi ser, mi fe y mis experiencias. Por eso me limito a declarar que admito la existencia de Dios. Si Dios existe, si verdaderamente ha creado la tierra, la ha hecho de acuerdo con la geometría de Euclides, puesto que ha dado a la mente humana la noción de las tres únicas dimensiones del espacio.

F. Dostoyevski (1821-1881) - 2 Sin embargo hay geómetras y filósofos que dudan de que todo el universo esté creado siguiendo únicamente los principios de Euclides. Incluso tienen la audacia de suponer que dos paralelas se pueden reunir en otra parte, en el infinito. En vista de que ni siquiera esto soy capaz de comprender, he decidido no intentar comprender a Dios.

Einstein y la relatividad especial A. Einstein (1879-1955), 1905 Al formular sus ecuaciones, éstas dependen de un factor F. F = √(1-v2/c2) Evaluación aproximada de F c = 300000 Km/s v = 300 Km/h F = 0,99999999999996…. ≈ 1

Geometría riemanniana Riemann (1851) estudia geometrías localmente euclídeas e introduce el tensor de curvatura Su anulación caracteriza la GE Einstein (1920) estudia geometría del Universo y muestra que la geometría espacio-tiempo tiene curvatura Teoría general de la relatividad Espacio curvo cuatro dimensiones

D. Hilbert (1862-1942) - 1 Debate Verdad-Falsedad 1900: De todo enunciado se puede demostrar su veracidad o falsedad Sistema axiomático Consistente: No se deduce P y no P Independiente: Los axiomas no se deducen unos de otros Completo: Si P no es cierta, lo es no P

D. Hilbert (1862-1942) - 2 El problema de axiomatizar Aritmética y Geometría ¿Existe un método que permita decidir sobre cualquier problema matemático, es decir, resolverlo conjugando un número finito de axiomas y teoremas?

K. Gödel (1906-1978) Nunca dispondremos de un programa capaz de resolver cualquier problema; en un sistema formal como la Aritmética o la Geometría cabe formular enunciados que no se pueden probar ni no probar, demostrar, ni rechazar, sobre los cuales por tanto no cabe decidir. Por ejemplo, la consistencia misma de los axiomas (1931)

Incompletitud En cualquier formalización consistente de las matemáticas que sea lo bastante fuerte para definir el concepto de números naturales, se puede construir una afirmación que ni se puede demostrar ni se puede refutar dentro de ese sistema Ningún sistema consistente se puede usar para demostrarse a sí mismo Siempre habrá algo que no entenderemos

Indecidibilidad Existen proposiciones indecidibles La hipótesis del continuo El problema de probar la existencia de Dios es indecidible! Quizá no se llegue a demostrar científicamente que Dios existe Pero tampoco que Dios no existe

A. Einstein (1879-1955) El misterio es lo más hermoso que nos es dado sentir. Es la sensación fundamental, la cuna del arte y la ciencia verdaderos. Quien no la conoce, quien no puede asombrarse ni maravillarse, está muerto. Sus ojos se han extinguido Esta experiencia del misterio está también en el origen de la religión

Evangelio de Juan Al principio ya existía el Verbo. Todo se hizo por el Verbo y sin el Verbo no se hizo nada. El Verbo estaba en el mundo y el mundo fue hecho por el Verbo. Y el Verbo se hizo carne y habitó entre nosotros y hemos visto su gloria, gloria que recibe del Padre como Hijo Único. La gracia y la verdad nos han llegado por Jesucristo. Verbum=Logos: Verbo, Palabra, Designio