XXII Olimpiada Thales

Solución ¡TEN AMIGOS “PA’ESTO”! Menú Me ha llegado un aviso de correos para recoger un paquete. Aprovechando que mi amiga Carlota trabaja allí, la llamo para preguntarle las dimensiones y así saber si puedo ir en bici a recogerlo. En seguida me arrepentí, porque Carlota, que es una “pirá” de las matemáticas me dio la siguiente respuesta: Sólo te diré que tiene la misma forma que una caja de zapatos y que la superficie de sus caras es 120 cm 2, 80 cm 2 y 96 cm 2 respectivamente. ¿Cuáles son las dimensiones del paquete?

Solución Menú Solución 1 Solución 2

Enunciado Menú Solución: Para empezar daremos un nombre a las incógnitas: las medidas de los lados a c b Sabemos que a · b = 120; b · c = 96; a · c = 80 Solución 2

Enunciado Menú Solución: a · b = 120 b · c = 96 a · c = 80 ¿Qué me dice esto que tengo?  1 120 es un múltiplo de a y de b, o bien, a y b son divisores de 120.  9 96 es un múltiplo de b y de c, o bien, b y c son divisores de 96.  8 80 es un múltiplo de a y de c, o bien, a y c son divisores de 80.  a a es divisor común de 120 y de 80.  b b es divisor común de 120 y de 96.  c c es divisor común de 96 y de 80. Solución 2

Enunciado Menú Solución: Escribimos los divisores de los tres números. De 120: De 96: De 80: Y marcamos los divisores comunes a dos de ellos. a c b a · b = 120 b · c = 96 a · c = 80 Solución 2

Enunciado Menú Solución: a c b a · b = 120 b · c = 96 a · c = 80 a puede ser: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 b puede ser: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 c puede ser: 1, 2, 4, 8, 16 Bastará buscar parejas cuyos productos sean los deseados. Por tanto: Solución 2

Enunciado Menú Solución: a · b = 120 b · c = 96 a · c = 80 a puede ser: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 b puede ser: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 c puede ser: 1, 2, 4, 8, 16 ¡Pero a ≠ 80! 1 80 a·b = 120 ¿? baSi c vale: Solución 2

48 Enunciado Menú Solución: a · b = 120 b · c = 96 a · c = 80 a puede ser: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 b puede ser: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 c puede ser: 1, 2, 4, 8, 16 2 ¡Pero b ≠ 48! a·b = 120 ¿? baSi c vale: 1 80 Solución 2

Enunciado Menú Solución: a · b = 120 b · c = 96 a · c = 80 a puede ser: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 b puede ser: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 c puede ser: 1, 2, 4, 8, 16 Si c vale: aba·b = 120 ¿? 42024No ¡20·24 ≠ 120! Solución 2

Enunciado Menú Solución: a · b = 120 b · c = 96 a · c = 80 a puede ser: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 b puede ser: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 c puede ser: 1, 2, 4, 8, ¡Siii! a = 10 cm b = 12 cm c = 8 cm a·b = 120 baSi c vale: 42024No Solución 2

Enunciado Menú Solución: a · b = 120 b · c = 96 a · c = 80 a puede ser: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 b puede ser: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 c puede ser: 1, 2, 4, 8, No ¡5·6 ≠ 120! a = 10 cm b = 12 cm c = 8 cm 81012¡Siii! a·b = 120 baSi c vale: 42024No Solución 2

Enunciado Menú Solución: Demostrado por tanto que a = 10, b = 12 y c = 8 es la única solución a = 10 cm b = 12 cm c = 8 cm ¡A por la bici! Solución 2

Enunciado Menú Solución: Para empezar daremos un nombre a las incógnitas: las medidas de los lados. a c b Sabemos que a · b = 120; b · c = 96; a · c = 80 a b c Si desplegamos la caja tenemos que: Solución 1

Enunciado Menú Descomponiendo estos números tenemos que: 120= 2 3 x3x5; a b c Solución: 80= 2 4 x5 y96= 2 5 x3 Si sustituímos los números por sus descomposiciones, tenemos 2x2x2x3x5 2x2x2x2x5 2x2 2x2 2x3 a c b Solución 1

Enunciado Menú Ahora bien, fijémonos en el 5 que aparece... a b c Solución: Como 5 no aparece en la descomposición de 96, necesariamente es un factor de “a”. Y tenemos que: 2x2x2x3x5 2x2x2x2x5 2x2 2x2 2x3 a c b =5x Quitemos pues el cinco de las descomposiciones Solución 1

Enunciado Menú Ahora bien, fijémonos en el 5 que aparece... a b c 96 Solución: Como 5 no aparece en la descomposición de 96, necesariamente es un factor de “a”. Y tenemos que: 2x2 2x2 2x3 a c b =5x Quitemos pues el cinco de las descomposiciones 2x2x2x3x5 2x2x2x2x5 Solución 1

Enunciado Menú Vamos a seguir con el 3... a b c Solución: Como 3 no aparece en la descomposición de 80, necesariamente es un factor de “b”. Y tenemos que: 2x2 2x2 2x3 a c b =5x Quitando el 3 nos queda... =3x 2x2x2x3x5 2x2x2x2x5 Solución 1

Enunciado Menú Vamos a seguir con el 3... a b c Solución: Como 3 no aparece en la descomposición de 80, necesariamente es un factor de “b”. Y tenemos que: a c b =5x Quitando el 3 nos queda... =3x 2x2 2x2 2x3 2x2x2x3x5 2x2x2x2x5 Solución 1

Enunciado Menú Ahora sólo nos quedan potencias de 2 a b c 96 Solución: Si “a” tuviese a 2x2x2 como factores, entonces quitando estos factores de las descomposiciones: a c b =5x =3x El lado “c” tendría obligatoriamente el 2 en su descomposición y por tanto, “b” tendría a 2 4 en la suya lo que es imposible 2x2x2x3x5 2x2x2 2x2x2x2x5 2x2x2x2 2x2 2x2 2x3 Solución 1

Enunciado Menú Lo que significa que “b” tiene algún 2 en la suya. a b c Solución: Los quitamos 2x2x2 2x2x2x2 a c b =5x =3x2 2x2 2x2 2x3 =3 Solución 1

Enunciado Menú Lo que significa que “b” tiene algún 2 en la suya. a b c Solución: 2x2 2x2 a c b =5x =3x2 Si “a” tuviese a 2x2, entonces quitando dichos factores tenemos que: 2x2 El lado “c” tendría obligatoriamente el 2 2 en su descomposición y por tanto, “b” tendría en la suya a 2 2 lo que es imposible 2x2x2x2 Los quitamos Solución 1

Enunciado Menú a b c Solución: 2x2 2x2x2x2 2x2 a c b =5x =3x2 El lado “c” tendría obligatoriamente a 2 4 en su descomposición lo que no es posible. Razonando de la misma forma, si “b” tuviese a 2x2 como factores, entonces quitando estos factores de las descomposiciones: 2x2 2x2 Solución 1

Enunciado Menú a b c Solución: 2x2 2x2x2x2 2x2 a c b =5 =3x2 Y si los quitamos... Por tanto, tanto “a” como “b”, tienen algún factor 2 en sus respectivas descomposiciones. Es decir: =5x2 =3x2x2 Solución 1

Enunciado Menú a b c 8096 Solución: 2x2x2 2x2 2 a c b =3x2x2 Y si los quitamos... Por tanto, tanto “a” como “b”, tienen algún factor 2 en sus respectivas descomposiciones. Es decir: Es evidente que c=2x2x2 =2x2x2 =5x2 Solución 1

Enunciado Menú 8096 Solución: a c b b =12 ¡Ya está!, vamos a comprobarlo: c =8 120 a =10 Tenemos que a · b = 120;a · c = 80b · c = 96 y Solución 1

Enunciado Menú Solución: Demostrado por tanto que a = 10, b = 12 y c = 8 es la única solución a = 10 cm b = 12 cm c = 8 cm ¡A por la bici! Solución 1