VIII Olimpiada Thales. Solución Menú Dedicado a Thales: Un rectángulo, cuya área es 1.500 “unidades de superficie”, se puede inscribir en un triángulo.

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1 VIII Olimpiada Thales

2 Solución Menú Dedicado a Thales: Un rectángulo, cuya área es 1.500 “unidades de superficie”, se puede inscribir en un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 50 y 150 “unidades lineales”, tal como se aprecia en el dibujo. Calcula las longitudes de los lados del rectángulo. 150 50

3 Menú Enunciado Solución: Podemos nombrar los lados del rectángulo, para tener una referencia concreta de cada uno; sean a y b. Además sabemos que el área del rectángulo es 1.500 unidades de superficie. 150 50 b a1.500 S = a · b = 1.500 u 2

4 Menú Enunciado Solución: Vamos a fijarnos en los dos triángulos que “rodean” al rectángulo; los que están coloreados de verde. Evidentemente son triángulos semejantes por tener los mismos ángulos. Entonces, podemos aplicar el utilísimo Teorema de Thales a éstos. 150 50 b a1.500

5 Menú Enunciado Solución: En virtud de este teorema, tenemos la siguiente igualdad: Que, junto con la expresión anterior, forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que vamos a resolver. 150 50 b a1.500 50-a 150-b

6 Menú Enunciado Solución:Veamos la resolución: 150 50 b a1.500 50-a 150-b Pues basta multiplicar en cruz para obtener la ecuación cuadrática:

7 Menú Enunciado Solución:Y por fin, hallemos las dimensiones del rectángulo: 150 50 b a1.500 50-a 150-b Y entonces el valor de a resulta:

8 Menú Enunciado Solución: Los lados del rectángulo miden 67’08 y 22’36 unidades lineales. 150 50 67’08 22’36 1.500