Dada una función f(x): F(x) es primitiva de f(x) F´(x)=f(x) Por ejemplo: Si f(x)= cosx F(x)=senx Si f(x)= x 2 F(x)=x 3 /3 Si f(x)= e x F(x)=e x Observemos que el problema de calcular la primitiva de una función es indeterminado, ya que existen infinitas primitivas de una misma función. Así, D(senx)=D(senx+1)=D(senx+k)=cosx. Todas estas primitivas se diferencian en una constante. O sea: “ Si F(x) es una primitiva de f(x) F(x)+k también lo es.”
Llamamos integral indefinida de la función f(x), al conjunto de todas las primitivas de la función. Se representa con la notación: f(x)dx = F(x)+k A veces nos pedirán una primitiva determinada, para lo cual hemos de hallar k, cosa que podemos hacer si nos dan unas condiciones iniciales. Por ejemplo: Hallar la primitiva de la función f(x)=x 2 +2x, sabiendo que toma el valor cero para x=1. F(x)+k= (x 2 +2x)dx= x 3 /3 +x 2 +k ; F(1)=1/3 +1+k=-4/3 Luego:F(x)=x 3 /3 + x 2 - 4/3
Las propiedades de linealidad de las integrales, son dos, y se demuestran sin mas que tener en cuenta la definición de inte- gral y las propiedades de las derivadas de funciones: (f(x)+g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx k.f(x)dx = k. f(x)dx,, donde k es una constante.
Son las que se deducen inmediatamente de la definición de integral indefinida:
Continuación de integrales inmediatas
Ejemplos de integrales inmediatas.
Al encontrarnos con una integral de la forma f(x)dx, a veces interesa un cambio de variable de la forma: x=g(t) dx=g´(t)dt que proporcione una integral más sencilla. La elección de x=g(t) depende de cada función particular. A continuación veremos unos ejemplos
Ejemplos de integración por cambio de variables
e 3x dx Hacemos el cambio: 3.x = t Derivando queda:dx = dt dx = dt / 3 e t dt / 3 = (1/3). e t dt = (1/3).e t + C = (1/3).e 3x + C sen 5 x. cos x dx Hacemos: sen x = t Derivando: cos x dx = dt sen 6 x sen 5 x.cos x dx = t 5 dt = t 5+1 / (5+1) + C = C 6
2.x. sen x 2 dx Hacemos: x 2 = t Derivando: 2.x dx = dt 2.x.sen x 2 dx = sen t dt = - cos t + C = - cos x 2 + C Ejemplos de integración por cambio de variables