Números racionales Lorenzo Contreras Garduño Ago. 2015 Plantel “Ignacio Ramírez Calzada” de la Escuela Preparatoria Números racionales Lorenzo Contreras Garduño Nivel Medio Superior Primer semestre Aritmética y lenguaje matemático Ago. 2015

Números racionales Menú principal Concepto Objetivos y competencias Tipos de fracciones Representación decimal de una fracción Representación fraccionaria de un decimal Operaciones con números racionales Multiplicación Potencia Suma y resta División Radicación

PROPÓSITO GENERAL Desarrolla el razonamiento matemático a través de la utilización de las operaciones aritméticas en la resolución de problemas de la vida cotidiana.

MÓDULO II Operaciones de números Propósito: Analiza las operaciones con los diferentes tipos de números para identificarlas y relacionarlas con su entorno mediante la resolución de operaciones y problemas de aplicación.

MÓDULO II Operaciones de números Competencias Disciplinares Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos y geométricos para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

MÓDULO II Operaciones de números Competencias Genéricas 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 4.5 Maneja las tecnologías de la información y la comunicación para obtener información y expresar ideas.

MÓDULO II Operaciones de números Competencias Genéricas 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

MÓDULO II Operaciones de números Competencias Genéricas 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos.

Números racionales Es el conjunto de números que se obtienen al dividir dos números enteros. donde A esta forma se le conoce como representación fraccionaria. Si efectuamos la división obtenemos su representación decimal.

Números racionales Son ejemplos de números racionales: 6 – 7 0.5 – 0.43 0.333 … – 2.1727272 … Todos los números naturales y enteros están contenidos en los números racionales. Esto es:

Fracciones En matemáticas, el término fracción es la representación de una cantidad dividida entre otra. Proviene del latín fractus que significa roto o quebrado. Las fracciones pertenecen al conjunto de números racionales y principalmente las usamos para representar partes de una unidad.

Fracciones Ejemplo Si observamos el medidor del nivel de gasolina de nuestro automóvil y vemos la siguiente imagen Significa que el tanque tiene de su capacidad, siendo lo más común, decir que nuestro tanque está a tres cuartos.

Fracción propia Es una fracción donde el numerador es menor que el denominador. Su valor siempre es menor que uno.

Fracción propia Son ejemplos de este tipo de fracciones: < 1

Fracción impropia Es una fracción donde el numerador es mayor o igual que el denominador. Su valor siempre es mayor o igual que uno.

Fracción impropia Son ejemplos de este tipo de fracciones

Fracción mixta Es una expresión formada por una parte entera y una fracción propia.

Fracción mixta Son ejemplos de este tipo de fracciones:

Fracción mixta La fracción Representa una fracción mixta y está formada por dos partes enteras más un cuarto de la unidad.

Fracción mixta Las fracciones mixtas se transforman en fracciones impropias al multiplicar la parte entera por el denominador y sumando el numerador para obtener el numerador de la nueva fracción. El denominador es el mismo.

Fracción mixta Ejemplo Transformamos la fracción en fracción impropia.

Fracción mixta Para convertir una fracción propia a mixta, dividimos el numerador entre el denominador y formamos la fracción mixta con la parte entera y el residuo dividido entre el denominador, forma la fracción impropia.

Fracción mixta Transformamos a fracción mixta. Ejemplo Transformamos a fracción mixta. Dividimos 14 entre 3 e identificamos la parte entera y su residuo Parte entera = 4 Residuo = 2 La fracción es equivalente a

Fracción compuesta Es una fracción donde el numerador o el denominador contiene al menos otra fracción o una operación con fracciones.

Fracción compuesta Son ejemplos de este tipo de fracciones:

Fracciones equivalentes Dos fracciones son equivalentes cuando tienen el mismo valor. Por ejemplo, la fracción es equivalente con Esto es:

Fracciones equivalentes Para comprobar que dos fracciones son equivalentes, se multiplican sus valores en forma cruzada y el resultado de ambos productos debe ser el mismo. Para el ejemplo anterior, multiplicamos en forma cruzada y resulta como ambos productos son iguales a 10, entonces las fracciones son equivalentes.

Fracciones equivalentes Para simplificar una fracción, debemos dividir el numerador y el denominador entre una misma cantidad las veces que sea necesario y la fracción estará simplificada cuando ya no es posible encontrar un número que divida tanto al numerador como al denominador. El proceso resulta más sencillo si decimos que vamos sacando mitad, tercera, quinta, séptima, etc. tanto al numerador como al denominador de la fracción.

Fracciones equivalentes Por ejemplo, simplificamos la siguiente fracción:

Representación decimal de una fracción Una fracción la representamos en forma decimal, dividiendo el numerador entre el denominador.

Representación decimal de una fracción Ejemplo Representamos la fracción en forma decimal Dividimos el numerador entre el denominador Obtenemos que

Representación fraccionaria de un número decimal Un número decimal que pertenece a los números racionales, lo podemos representar como fracción; dependiendo de su forma, aplicaremos el método correspondiente. a). Números con parte decimal finita o terminante b). Números con parte decimal infinita y periódica i) Cuando el periodo de repetición inicia enseguida del punto decimal. ii). Cuando el periodo de repetición no inicia después del punto decimal.

Representación fraccionaria de un número decimal a). Números con parte decimal finita o terminante Se cuenta el número de cifras que tiene la parte decimal y multiplicamos y dividimos al número por 10 elevado al número de cifras que contamos y se simplifica. Una cifra dos cifras tres cifras cuatro cifras

Representación fraccionaria de un número decimal Ejemplo Transformamos el número 2.215 a fracción. En su parte decimal, el número contiene tres cifras , entonces multiplicamos y dividimos por:

Representación fraccionaria de un número decimal . b). Números con parte decimal infinita y periódica i) Cuando el periodo de repetición inicia después del punto decimal. Contamos el número de cifras que tiene el periodo de repetición. Una cifra dos cifras tres cifras

Representación fraccionaria de un número decimal . b). Números con parte decimal infinita y periódica i) Cuando el periodo de repetición inicia después del punto decimal. Establecemos la fracción de la siguiente forma: ( ) ( ) _ Número original con una vez el periodo de repetición Número original sin el periodo de repetición Un nueve por cada cifra de repetición

Representación fraccionaria de un número decimal Ejemplo Transformamos el número 4.252525... a la forma de fracción. El periodo de repetición es 25, está formado por dos dígitos. El número original con una vez el periodo de repetición es 425 El número original sin el periodo de repetición es 4 Establecemos la fracción y simplificamos.

Representación fraccionaria de un número decimal ii). Cuando el periodo de repetición no inicia después del punto decimal El numerador lo formamos con el número original sin el punto decimal y con el periodo una sola vez y le restamos el número original sin el punto y sin el periodo de repetición. El denominador lo formamos por un nueve por cada digito que se repite y un cero por cada digito que no se repite. En caso de ser posible, simplificamos la fracción.

Representación fraccionaria de un número decimal Ejemplo Transformamos el número 3.4565656… a su forma fraccionaria. 3.4565656… El periodo de repetición es 56, esto es dos cifras. 3.4565656… El valor que no se repite es 4, esto es, una cifra. Con lo anterior formamos la fracción y simplificamos

Operaciones con números racionales Suma y resta Cuando las fracciones tienen el mismo denominador. Se suman o restan los numeradores y el denominador queda igual.

Operaciones con números racionales Suma y resta Cuando las fracciones tienen el mismo denominador. Ejemplo Efectuamos la operación con fracciones Las fracciones tienen el mismo denominador, entonces sumamos y restamos los numeradores y el denominador es 4.

Operaciones con números racionales Suma y resta Cuando las fracciones tienen diferente denominador. Obtenemos el mínimo común múltiplo de los denominadores. Le llamaremos común denominador. Dividimos el común denominador entre cada denominador y multiplicamos por su numerador. Sumamos o restamos los valores anteriores y el denominador es el común denominador.

Operaciones con números racionales Suma y resta Cuando las fracciones tienen diferente denominador. Ejemplo Efectuamos la operación con fracciones El mcm de los denominadores 3, 5 y 2 es 30 Dividimos el 30 entre cada denominador y multiplicamos por su respectivo numerador.

Operaciones con números racionales Multiplicación Se efectúa multiplicando numerador por numerador y denominador por denominador.

Operaciones con números racionales Multiplicación Ejemplo Realizamos la multiplicación con fracciones Multiplicamos numerador por numerador y denominador por denominador. Después simplificamos.

Operaciones con números racionales División La división de fracciones se efectúa multiplicando numerador por denominador y denominador por numerador. Sí la fracción es compuesta, se multiplican medios por medios y extremos por extremos.

Operaciones con números racionales División Ejemplo Efectuamos la división Multiplicamos el numerador por el denominador y el denominador por el numerador

Operaciones con números racionales Potencia Se eleva el numerador y el denominador la potencia indicada.

Operaciones con números racionales Potencia Ejemplo Obtenemos el valor de la potencia con fracciones Elevamos el 2 y el 3 a la cuarta potencia.

Operaciones con números racionales Radicación Se saca al numerador y al denominador la raíz indicada.

Operaciones con números racionales Radicación Ejemplo Obtenemos el valor de la raíz con fracciones Se saca al numerador y al denominador la raíz indicada.