Trayectorias, Derivada direccional y Regla de la cadena 1 Prof. Leonardo Rodríguez Medina
Trayectorias
Geométricamente, r'(t) es un vector tangente a C en P. Por ejemplo, si l ⊂ R 3 es la recta por P(x 0,y 0,z 0 ) || al vector de dirección u = (u 1, u 2, u 3 ), entonces una parametrización de l es x = x 0 + tu 1 y = y 0 + tu 2 z = z 0 + tu 3,t ∈ R o sea, r:R → R 3, r(t) = (x, y, z) cuya tiene imagen es precisamente l. Con esta parametrización P = r(0) pero se pueden elegir otras, usando por ejemplo 2u o -u para el vector de dirección, o tal que P = r(1).
Además de la velocidad instantánea v(t) = r'(t), podemos interpretar otros conceptos como i. v(t) = rapidez ( = ds/dt si s = longitud de arco). ii.a(t) = v’(t) = v'(t) = r''(t) = aceleración. iii.p(t) = mv(t) = momento. iv.F(t) = ma(t) =fuerza ( = p'(t) = 2° momento).
Ejercicios
Derivadas direccionales
Ejemplo
Regla de la cadena
Ejemplo
El gradiente Si θ es el ángulo entre ∇ f(x) y u, entonces D u f (x) = | ∇ f (x)|cos θ el cual es máximo cuando cos θ = 1, es decir, cuando θ = 0 o bien, cuando u || ∇ f (x). ∇ f (x) es el vector que apunta en la dirección de mayor crecimiento de f alrededor de x.