Validación de Series de Números de Pseudoaleatorios SIMULACION DE SISTEMAS Validación de Series de Números de Pseudoaleatorios Mg. Samuel Oporto Díaz

Temario Fecha S Temario LB PC Trabajo Final M 05/may 1   Fecha S Temario LB PC Trabajo Final M 05/may 1 Modelado y simulación 12/may 2 Formulación del problema 5% 19/may 3 Proyectos de simulación PC1 26/may 4 Generación de Números Aleatorias LB1 02/jun 5 Generación de Variables Aleatorias Descripción del sistema 10%  09/jun 6 Simulación por eventos PC2 16/jun 7 Colas con un servidor LB2 Modelo de colas 20%  23/jun 8 Colas con servidores en serie PARCIAL 30/jun 9 Colas con servidores en paralelo  LB3 Análisis de datos 20% 07/jul 10 Simulación de Inventarios PC3 14/jul 11 Modelo en arena 21/jul 12 LB4 28/jul 13 Simulación de Sistemas complejos PC4 04/ago 14 Exposición Final 25% 11/ago 15 FINAL

Objetivo Exponer los conceptos básicos para realizar pruebas estadísticas de uniformidad y aleatoriedad de series de números pseudoaleatorios. Confirmar el grado confianza en un generador de números pseudoaleatorios.

Tabla de Contenido Pág. 1. Objetivos 3 2. Antecedentes 4 3. Validación de Series de Números Aleatorios 8 4. Prueba de Bondad de Ajuste (distribución uniforme) 8 4.1. Prueba Ji-Cuadrado 12 4.2. Prueba Kolmogorov-Smirnov 15 5. Prueba de Aleatoriedad (independencia) 18 5.1. Prueba de las Series. 20 5.2. Prueba de las Distancias 23 6. Conclusiones. 26 7. Bibliografía 27

Mapa Conceptual del Curso Modelado y Simulación Proyectos Generación Valores de Variables Aleatorias por Eventos Sistema de Colas con Servidores en Serie Un servidor Sistemas de Colas con Servidores en Paralelo Sistemas de Inventarios Revisión Periódica Sistemas de Inventarios Punto de Repedido Sistemas Complejos: Cadena de Almacenes Sistemas Complejos: Cadena de Producción

Mapa Conceptual Xi+1=(aXi+c) mod m Tabla de Nros. aleatorios Fenómenos Físicos Procedimientos Matemáticos Números Aleatorios Validación de Series de NA Variables U (0,1) Variables Aleatorias

ANTECEDENTES

Antecedentes Generación de Números pseudoaleatorios. Xi+1=(aXi+c) mod m Manual o mecánico. Tabla de Números aleatorios Computador

Antecedentes Métodos para la generación de series de números pseudoaleatorios. Generadores Congruenciales. Producto Medio. Cuadrado Medio.

Antecedentes Propiedades deseables de la serie de números generados. Distribución uniforme. Independientes entre si.

Validación de Series de Números Pseudoaleatorios Probar si una serie de números generados corresponde a una distribución de probabilidad supuesta y probar que los números son independientes entre sí. Prueba de Bondad de Ajuste. Si cumple una distribución uniforme Prueba de Aleatoriedad. Si los elementos de la serie son independientes.

PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE

Pruebas de Bondad de Ajuste Probar si una serie de números pertenece a cierta distribución de la probabilidad. En este caso la distribución es uniforme. Prueba de Ji-Cuadrado.

Prueba de Bondad de Ajuste H0, los números están distribuidos uniformemente. H1, los números no están distribuidos uniformemente. ≤ > Prueba Ji-cuadrado Se usa cuando se trabaja con variables nominales (categorías o grupos). Responder la pregunta: si las frecuencias observadas, difiere de la frecuencia esperada.

Prueba Ji-Cuadrado Tomar la serie de N números. Dividir la serie en k intervalos. k ≈ N½ Calcular Ei = N/k Calcular Oi = (cantidad de #s por intervalo) Calcular Si se acepta H0 No hay diferencia significativa entre la cantidad de números de cada intervalo

Prueba Ji-Cuadrado frecuencia intervalo k-2 k-1 k

Ejemplo N = 64 k = 10 X2 = 8.50 X2(9, 5%) = 16.92 X2 < X2(9, 5%) 0.7652 0.7901 0.4916 0.9928 0.3492 0.8097 0.1627 0.1250 0.8049 0.5645 0.4522 0.3899 0.5697 0.9609 0.1487 0.9563 0.3276 0.8017 0.1573 0.2737 0.3632 0.6963 0.8135 0.0619 0.1676 0.7821 0.7564 0.2661 0.8413 0.1599 0.7215 0.4160 0.3629 0.2594 0.8972 0.3867 0.2400 0.6831 0.0994 0.8086 0.3109 0.9862 0.3321 0.3263 0.3975 0.9909 0.0856 0.2740 0.4400 0.9476 0.1294 0.4802 0.4927 0.3358 0.6776 0.5319 0.6355 0.7604 0.8767 0.1658 0.4103 0.0824 0.4875 0.9297 N = 64 k = 10 X2 = 8.50 X2(9, 5%) = 16.92 X2 < X2(9, 5%)

PRUEBAS DE ALEATEORIEDAD (INDEPENDENCIA)

Prueba de Aleatoriedad (independencia) Probar si los elementos de una serie de números no estas correlacionados. Prueba de las Series. Prueba de las Distancias

Prueba de las series Tomar una muestra de tamaño N Dividir un cuadrado de lado 1 en n2 celdas. Formar los pares ordenados (Ui, Ui+1), N pares Calcular Eij = N / n2 Calcular Oij = (cantidad de #s por celda) Calcular Si se acepta H0

Prueba de las series 3/n 4/n 1/n 2/n 8/n 1 5/n 7/n

Ejemplo N = 64 n = 5 X2 = 9.4375 X2(24,5%) = 36.41 X2 < X2(24, 5%) n U1 U2 1 0.7652 0.3492 2 0.3492 0.8049 3 0.8049 0.5697 4 0.5697 0.3276 5 0.3276 0.3632 6 0.3632 0.1676 7 0.1676 0.8413 8 0.8413 0.3629 9 0.3629 0.2400 10 0.2400 0.3109 11 0.3109 0.3975 12 0.3975 0.4400 13 0.4400 0.4927 14 0.4927 0.6355 15 0.6355 0.4103 0.4103 0.7901 . Oij = Eij = Oij - Eij = N = 64 n = 5 X2 = 9.4375 X2(24,5%) = 36.41 (Oij – Eij)2 = Eij X2 < X2(24, 5%)

Prueba de las distancias Calcular la tabla. Calcular Si se acepta H0 Donde: i es el tamaño del hueco n es el tamaño del hueco más grande que se desea contar n n

Bibliografía Simulación. Métodos y Aplicación. D. Rios, S. Rios y J. Martín. 2000. Simulación. Sheldom M. Ross. 1999. 2da. Edición. Simulación de Sistemas Discretos. J. Barceló. 1996

PREGUNTAS

Samuel Oporto Díaz soporto@wiphala.net http://www.wiphala.net/oporto/