Validación de Series de Números de Pseudoaleatorios

Presentación del tema: "Validación de Series de Números de Pseudoaleatorios"— Transcripción de la presentación:

1 Validación de Series de Números de Pseudoaleatorios
SIMULACION DE SISTEMAS DISCRETOS Validación de Series de Números de Pseudoaleatorios Mg. Samuel Oporto Díaz Lima, 8 Noviembre 2005

2 Objetivo Exponer los conceptos básicos para realizar pruebas estadísticas de uniformidad y aleatoriedad de series de números pseudoaleatorios. Confirmar el grado confianza en un generador de números pseudoaleatorios.

3 Tabla de Contenido Pág. 1. Objetivos 3 2. Antecedentes 4
3. Validación de Series de Números Aleatorios 8 4. Prueba de Bondad de Ajuste (distribución uniforme) 8 4.1. Prueba Ji-Cuadrado 4.2. Prueba Kolmogorov-Smirnov 5. Prueba de Aleatoriedad (independencia) 18 5.1. Prueba de las Series 5.2. Prueba de las Distancias 23 6. Conclusiones 7. Bibliografía

4 Mapa Conceptual del Curso
Modelado y Simulación Colas con un servidor Proyectos Simulación Simulación X Eventos Colas en Serie Inventarios Series de Nro. Aleato Colas en Paralelo Validación de Series Generación de VA

5 Mapa Conceptual Xi+1=(aXi+c) mod m Tabla de Nros. aleatorios
Fenómenos Físicos Procedimientos Matemáticos Números Aleatorios Validación de Series de NA Variables U (0,1) Variables Aleatorias

6 ANTECEDENTES

7 Antecedentes Generación de Números pseudoaleatorios.
Xi+1=(aXi+c) mod m Manual o mecánico. Tabla de Números aleatorios Computador

8 Antecedentes Métodos para la generación de series de números pseudoaleatorios. Generadores Congruenciales. Producto Medio. Cuadrado Medio.

9 Antecedentes Propiedades deseables de la serie de números generados.
Distribución uniforme. Independientes entre si.

10 Validación de Series de Números Pseudoaleatorios
Probar si una serie de números generados corresponde a una distribución de probabilidad supuesta y probar que los números son independientes entre sí. Prueba de Bondad de Ajuste. Si cumple una distribución uniforme Prueba de Aleatoriedad. Si los elementos de la serie son independientes.

11 PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE

12 Pruebas de Bondad de Ajuste
Probar si una serie de números pertenece a cierta distribución de la probabilidad. En este caso la distribución es uniforme. Prueba de Ji-Cuadrado. Prueba Kolmogorov-Smirnov

13 Prueba de Bondad de Ajuste
H0, los números están distribuidos uniformemente. H1, los números no están distribuidos uniformemente. ≤ > Prueba Ji-cuadrado Se usa cuando se trabaja con variables nominales (categorías o grupos). Responder la pregunta: si las frecuencias observadas, difiere de la frecuencia esperada.

14 Prueba Ji-Cuadrado Tomar la serie de N números.
Dividir la serie en k intervalos. k ≈ N½ Calcular Ei = N/k Calcular Oi = (cantidad de #s por intervalo) Calcular Si se acepta H0 No hay diferencia significativa entre la cantidad de números de cada intervalo

15 Prueba Ji-Cuadrado frecuencia intervalo k-2 k-1 k

16 Ejemplo N = 64 k = 10 X2 = 8.50 X2(9, 5%) = 16.92 X2 < X2(9, 5%)
N = 64 k = 10 X2 = 8.50 X2(9, 5%) = 16.92 X2 < X2(9, 5%)

17 Prueba de Kolmogorov-Smirnov
Tomar la serie de N números. Ordenar los números de menor a mayor. Calcular FN (Ui) = i /N Calcular D = max[Ui - FN (Ui) ] = max(Ui – i/N) Si D < DN,α se acepta H0 N > 30

18 Prueba de Kolmogorov-Smirnov
1 FN (Ui) Ui

19 Ejemplo D = 0.06984 D64,5% = 0.1700 D < D64,5% i Ui i/N D
D = D64,5% = D < D64,5%

20 PRUEBAS DE ALEATEORIEDAD (INDEPENDENCIA)

21 Prueba de Aleatoriedad (independencia)
Probar si los elementos de una serie de números no estas correlacionados. Prueba de las Series. Prueba de las Distancias

22 Prueba de las series Tomar una muestra de tamaño N
Dividir un cuadrado de lado 1 en n2 celdas. Formar los pares ordenados (Ui, Ui+1), N-1 pares Calcular Eij = (N -1)/n2 Calcular Oij = (cantidad de #s por celda) Calcular Si se acepta H0

23 Prueba de las series 3/n 4/n 1/n 2/n 8/n 1 5/n 7/n

24 Ejemplo N = 64 n = 5 X2 = 9.4375 X2(24,5%) = 36.41 X2 < X2(24, 5%)
n U1 U2 . Oij = Eij = Oij - Eij = N = 64 n = 5 X = X2(24,5%) = 36.41 (Oij – Eij)2 = Eij X2 < X2(24, 5%)

25 Prueba de las distancias
Tomar una muestra de tamaño N Elegir α y θ, tal que β = α + θ Definir: PE = θ y PF = 1 – θ Calcular para cada número si o al intervalo. Hueco. Es la cantidad de números aleatorios, en la serie, que no se encuentran en el intervalo α, β, pero se encuentran entre dos números que pertecen al intervalo. α = 0.3, β = 0.6, θ = 0.3 0.35 Є < α, β> 0.43 Є < α, β> 0.71 ¢ < α, β> 0.61 ¢ < α, β> 0.42 Є < α, β> 0.31 Є < α, β> 0.94 ¢ < α, β> 0.83 ¢ < α, β> 0.32 Є < α, β> i = 0 α β θ 1 i = 2 i = 0 i = 2 P0 = θ P1 = (1 - θ)θ P2 = (1 - θ)2 θ Pi = (1 – θ)iθ Pi = (1 – θ)n, i > n

26 Prueba de las distancias
Calcular la tabla. Calcular Si se acepta H0 n n

27 Ejemplo α = 0.55, β = 0.95, θ = 0.4 X2 = 11.230 X2(7,5%) = 14.067
α = 0.55, β = 0.95, θ = 0.4 X = X2(7,5%) = X2 < X2(7, 5%)

28 Conclusiones Antes de usar un generador de números pseudoaleatorios, se debe probar su distribución uniforme y aleateatoriedad. La prueba de uniformidad, permite determinar si la serie corresponde a una distribución uniforme. La prueba de aleatoriedad permite determinar si los números no están correlacionados. En caso de rechazar algunas de las Ho, se recomienda probar con otra serie de números. Los resultados obtenidos por las pruebas son válidos para series de más de 30 elementos.

29 Bibliografía Simulación. Métodos y Aplicación. D. Rios, S. Rios y J. Martín Simulación. Sheldom M. Ross da. Edición. Simulación de Sistemas Discretos. J. Barceló. 1996

30 PREGUNTAS

31 Samuel Oporto Díaz

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