Método de Análisis Sucesivo Diseño de un SC de dos parámetros Análisis de Sensitividad en dos parámetros 2

Método de Diseño En el diseño de un Sistema de Control, a menudo se diseña un lazo interno (por ejemplo, con un compensador dinámico) y un lazo externo con un controlador más simple. Esto se denomina síntesis sucesiva de lazos anidados. Mediante LR se puede analizar la performance del sistema completo variando intermitente cada ganancia de lazo en forma apropiada, para colocar los polos del SCLC en lugares pre- determinados de acuerdo a especificaciones temporales Si existen dos parámetros K 1 y K 2, existen dos funciones de transferencia L(s) distintas en la ecuación característica Para los parámetros K 1 y K 2, valen las ecuaciones características: F(s;K 1,K 2 ) = 0 1+K 1 L 1 (s; K 2 =cte )= 0 1+K 2 L 2 (s; K 1 =cte)= 0 3

 jj Sea el sistema: K 1 G ol (s) = K 1 (s+2 ) s (s+1) (s+K 2 ) K 2 =-13 K 2 =-3 K 2 =-2 K 2 =-5 K 2 =-12 Ejemplo de variación de un LR con una cte. a tramos K 2 =-10. Se desea ubicar 2 polos de G cl K 1,1 K 1,2 K 1,3 K 1,4 K 1,5 K 1,6 Se logra encontrar una constante K 2 para la cual el LR de K 1 cruza los polos a una ganancia K 1 de lectura en el cruce. Se deja K 2 constante a tramos y se crean LR’s para K 1 Pero también pueden variarse alternadamente los dos LR’s: uno para K 1 y otro para K 2, llevándolos paulatinamente hacia los polos deseados del SC final 4 1+K 1 L 1 (s)=1+K 1 (s+2 ) (s+1) (s+K 2 ) s Se lee la ganancia K 1 del último LR así:. K 1 (s 0 ) = |s 0 | |s 0 +1| 2 |s 0 +13| |s 0 +2| s0s0

1/(s+1) Y(s) R(s) - 1/s KTKT KAKA 1 - = 0 s (s+1+K T ) KAKA 1 + Sea el siguiente lazo doble de control en un diseño sucesivo: La ecuación característica es: donde K A y K T son las ganancias del amplificador y del tacómetro (controladores externo e interno), respectivamente. s 2 + s + K A + K T s = 0 El polinomio característico queda en función de dos parámetros: Diseño de un SC sucesivo 5

 jj x x Diseño de un SC sucesivo Se definen los polos deseados. De: s 2 + s + K A + K T s = 0 se encuentran: s (s+1)+K T s 1 L A (s) = s (s+1)+K A s L T (s) = y K A =cte K L =cte Se elige un valor inicial K A ini =cte, y se comienza con L T K A = K A ini +  K A ’ K T = K L ini +  K L ’ 6 Camino recorrido en la aproximación sucesiva K A =cte K L =cte K A =cte -- jdjd s 1 =-2.2+j1.95 s 2 =-2.2-j1.9 x x -j  d x x x x x x x x x x x x

Método de LR sucesivo Se construye LR2 con L 2 (s) con el último valor de K 1 =cte y una variable K 2 que empieza de cero hasta el último valor de K 2,valor este donde LR2 y LR1 se tocan. A partir de ahí se marca un nuevo punto en la rama del LR2 de manera tal de acercarse más al polo objetivo Se construye el LR1 para un K 1 variable y constantes iniiales K 1 i ni =0 y K 2 i ni Se elige un punto sobre LR1 que esté lo más cerca del polo objetivo, se lee su valor K 1 ’ y se crea una constante de acumulación K 1 i ni +  K 1 ’ A ese punto le corresponde un incremento de K 2 igual a K 2 ’. Se actualiza la constante de acumulación con K 2 i ni +  K 2 ’ Desde ese punto marcado en LR2, se empalma un LR1 con L 1 (s) y una variable K 1 ’ que empieza de cero sumada a una constante que es la constante de acumulación  K 1 ’. Se actualiza  K 1 ’ 7 Y así reiteradamente desde alternando con LR1 y LR2 hasta que uno de los dos LR’s cruce primero el polo objetivo con valores finales:  K 1 ’ y  K 2 ’ 3 Se localizan los polos de lazo cerrado deseados, hacia los cuales se forzará iterativamente las ramas de los LR’s a cruzarlos El procedimiento se puede simplificar trazando los 2 LR’s alternativamente desde los puntos de contacto en adelante con las mismas variables K 1 ‘ y K 2 ‘ y empezando con ganancias de cero en esos puntos

Análisis de Sensibilidad Sea el sistema de control correspondiente a una planta oscilante realimentada proporcionalmente: Otra aplicación del LR en 2 parámetros lo constituye el análisis de sensibilidad de una planta con parámetros que varían muy lentamente en el tiempo o bien que son inciertos en el modelo. Se quiere analizar la sensitividad de la amortiguación  lc de los polos de lazo cerrado en función del amortiguamiento de la planta  y de la ganancia K  cuando éstos varían dentro de ciertos intervalos. Hallar la zona de incertidumbre de los polos de la FTLC en el plano complejo. K Y(s)R(s)U(s)E(s) - 1 s 2 +2  s+1 En este ejemplo se parte de valores nominales: K 0 =1 y  0 =0.5. Se asumen variaciones de |  K|  0.5 y |    0.2.  lc = F (K  +  K,    +   ) 8

Analisis de Sensibilidad La FTLC es: Solución: 1+KD(s)G(s) KD(s)G(s) G lc (s)= s 2 +2  s+1+K K = 1+KD(s)G(s) = 1+ = 0 s 2 +2  s+1 K 1+ K L K  (s) = 1+ K = 0 s 2 +2   s+1 1 2s 1+  L  (s) = 1+  = 0 s 2 +1+K Se obtienen dos funciones L(s) para cada parámetro: Comenzamos con  en su valor nominal 0.5 y graficamos el LR para K desde cero hasta un valor igual a su nominal más su cota superior  K max =0.5 9 Luego procedemos con K en su valor nominal 1 y graficamos el LR para  desde cero hasta un valor igual a su nominal más su cota superior  max =0.2

  [0.3,0.7] y K=1.5   [0.3,0.7] y K=0.5 K  [0.5, 1.5] y   =0.5 Zona de incertidumbre Análisis de sensitividad de polos de LC Zona de incertidumbre min  lc max  lc Comenzamos con el LR de K con  en su valor nominal de inicio Con cada valor extremo de K construimos 2 LR de  La zona de incertidumbre se corresponde con los intervalos de K y   =0.7 y K=0.5  =0.7 y K=1.5  =0.3 y K=1.5  =0.3 y K= L K  (s) = s 2 +2   s+1 1 2s L   (s) = s 2 +1+K  lc

Análisis de Sensibilidad Resumen del método: Trazamos el LR de K para el valor nominal   =0.5 Se generan dos regiones complejas conjugadas definidas por los vértices: Se dibujan 2 rayos por región de  cl =cte que circunscriban a sendas regiones Ubicamos sobre el LR las ganancias extremas de K: K=0.5 y K=1.5 Trazamos el LR de  dos veces: uno para K=0.5 y el otro para K=1.5  =0.7 y K=0.5  =0.7 y K=1.5  =0.3 y K=1.5  =0.3 y K=0.5 El seno de los ángulos extremos de esos rayos determinan los peores casos y el rango de incertidumbre de  cl cuando los coeficientes del SC son inciertos con cotas conocidas. 11