Diferenciabilidad de campos escalares. Diferencial Diferenciabilidad de campos escalares. Diferencial. Aplicaciones al cálculo aproximado. Alberto J. Miyara

El concepto Una función de R2 en R (campo escalar de dos variables) f(x; y) es diferenciable en un punto (x0; y0) si es posible trazar un plano tangente a la gráfica de f en el punto (x0;y0;f(x0;y0)). Dicho plano, de existir, es la gráfica de una función lineal L(x;y) (llamada linealización) que constituye una buena aproximación de f(x;y) en las cercanías del punto (x0;y0). El incremento de la función L(x;y) entre el punto (x0;y0) y otro punto (x;y) se llama diferencial de z (dz) y constituye una buena aproximación para el incremento de los valores de f(x;y), llamado delta z (Δz), entre los mismos puntos.

Hoja de ruta En base a un argumento geométrico, determinaremos, aprovechando conceptos del tema anterior (derivadas parciales), cuál debe ser la forma de la función L(x;y), en caso de existir. Inspirados en resultados de cálculo de una variable, estableceremos un criterio para determinar qué significa una buena aproximación para campos escalares de dos variables. Enunciaremos una condición suficiente para que la función L(x;y) postulada efectivamente aproxime bien a la función f(x;y); esto es, sea realmente un plano tangente. Discutiremos aplicaciones de estos resultados.

z intersección de la gráfica de z = f(x; y) con el plano y = y0 (x0; y0 ; f(x0; y0)) z = f(x; y) y (x0; y0) intersección de la gráfica de z = f(x; y) con el plano x = x0 x

z Si existe un plano tangente, será perpendicular a N y pasará por (x0; y0 ; f(x0; y0))) N 1 1 fy(x0; y0) fx(x0; y0) T2 Y llamando z = L(x; y) a la función del plano tangente: T1 y z = f(x; y) (x0; y0) x intersección de la gráfica de z = f(x; y) con el plano x = x0 intersección de la gráfica de z = f(x; y) con el plano y = y0

z (x0; y0 ; f(x0; y0)) z = f(x; y) y (x0; y0) x

Δ → cambios relativos a f(x;y) Δz = f(x0 + Δx; y0 + Δy) - f(x0; y0) d → cambios relativos a L(x;y) z z = L(x; y) dz z = f(x; y) Δz (x0 ; y0 ; f(x0 ; y0 )) y (x0 + Δ x; y0 + Δy) (x0; y0) Δx = dx Δy = dy x

y = f(x) y = L(x) y y = L(x) εΔx Δy dy = f’(x0) Δx Δx = dx x x0

Definición de diferenciabilidad para campos escalares de dos variables Dado un campo escalar f(x;y), se dice que f es diferenciable en (x0; y0) si dados incrementos Δx, Δy de sus variables es posible expresar el incremento del valor de la función como: donde se cumple: Se dice que el campo es diferenciable en una región R si es diferenciable en todo punto de R.

Formas equivalentes:

z z = L(x; y) ε1Δx + ε2Δy dz z = f(x; y) Δz (x0 ; y0 ; f(x0 ; y0 )) y (x0 + Δ x; y0 + Δy) Δx = dx (x0; y0) Δy = dy x

Ejemplo Probar que la función f(x;y) = x2 + 3y es diferenciable en cualquier punto (x;y) del plano.

Función linealización (plano tangente) Si z = f(x; y) es una función diferenciable en (x0; y0), entonces se llama función linealización de f centrada en (x0; y0) a la función L(x;y) que hemos definido como: O, alternativamente, llamando Δx, Δy a los incrementos de x y de y a partir de (x0; y0), : La gráfica de la función L(x;y) constituye el plano tangente a la gráfica de f en el punto (x0; y0).

Si recordamos que para una función diferenciable es: con podemos concluir que, en las cercanías del punto (x0; y0): Esto es, la linealización es una buena aproximación para estimar el valor de una función diferenciable ante incrementos pequeños de las variables a partir del punto donde está centrada.

Definición de diferencial para campos escalares de dos variables Si z = f(x; y) es una función diferenciable en un punto (x0; y0) y Δx, Δy son incrementos de x y de y a partir de ese punto, entonces los diferenciales de las variables independientes x y y son: dx = Δx, dy = Δy y el diferencial total de la variable dependiente z es: dz = fx (x0 ; y0)dx + fy (x0 ; y0)dy En un punto genérico (x; y) escribimos sencillamente dz = fx dx + fy dy

Si recordamos que para una función diferenciable es: con podemos concluir que, en las cercanías del punto (x0; y0): Esto es, el diferencial es una buena aproximación para el incremento del valor de una función diferenciable ante incrementos pequeños de las variables.

Teorema (Diferenciabilidad implica continuidad) Si f(x;y) es diferenciable en (x0;y0), entonces f(x;y) es continua en dicho punto. La demostración de este teorema es similar a la del teorema homólogo para funciones de una variable.

Cuidado La existencia de derivadas parciales no garantiza por sí sola la diferenciabilidad de una función. Así, la función: tiene derivadas parciales en el origen, pero no es continua allí (se verá en la práctica). Por ende, no es diferenciable según el teorema anterior. ¿Qué condiciones sí garantizan que una función sea diferenciable?

Teorema (Condición suficiente para la diferenciabilidad) Sea f(x;y) un campo escalar de dos variables. Si las derivadas parciales fx y fy existen en una región abierta que contiene a (x0;y0) y son continuas en (x0;y0), entonces f(x;y) es diferenciable en (x0;y0). La demostración de este teorema se basa en el teorema del valor medio de Cauchy, en que el incremento del valor de una función en un intervalo se calcula multiplicando la derivada de la función en un punto del intervalo por la amplitud del intervalo. De aquí surge que las condiciones impuestas sean sobre las derivadas de f, no sobre la función en sí.

Ejemplo Probar que la función f(x;y) = ex sen(xy) es diferenciable en cualquier punto (x;y) del plano. Calculando las derivadas parciales se tiene: Ambas son combinaciones de sumas y productos de funciones continuas en todo el plano. Por ende son continuas en todo el plano, y en consecuencia f es diferenciable en todo el plano.

Aplicaciones Determinación de planos tangentes. Determinación de valores aproximados de una función. Estimación de errores.

Ejemplo Determinar el plano tangente al paraboloide elíptico z = 2x2 + y2 en el punto (1;1;3) . Sea f(x;y) = 2x2 + y2. El punto (x0;y0) es aquí el (1;1), y tenemos:

Ejemplo Hallar el valor aproximado de la función en el punto (4,95;6,01) . Por suerte, es fácil calcular f (5;6) = 13. Desarrollaremos la función linealización centrada en (5;6), y la evaluaremos en (4,95;6,01). El valor obtenido con calculadora es 12,99934229. Obsérvese que la aproximación predice acertadamente que el valor de la función disminuye con respecto al que alcanza en el centro de la linealización.

Ejemplo Se mide con una regla milimetrada el diámetro y la altura de un cilindro, obteniéndose valores de 5,4 y 12,7 cm, respectivamente. Hallar el volumen del cilindro y estimar la incerteza de la determinación. Informar el resultado. El volumen de un cilindro es V = πD2h/4, donde D es el diámetro y h la altura. Calculándolo con los valores determinados en la medición, obtenemos V = 290,86 cm3. Debido a que las separaciones de la regla son de 0,1 cm, ese es el incremento que pueden sufrir (en más o en menos) los valores de las variables D y h con respecto a los valores informados. El incremento que sufriría en tal caso el valor del volumen se puede estimar calculando el diferencial: .

Información del resultado: En general, la incerteza se informa con una sola cifra significativa, que se aproxima a la cifra inmediatamente superior si la segunda cifra significativa supera al 2 (“regla del 2 para la incerteza”). En este caso: ΔV = 13,06 cm3 → informamos ΔV = 20 cm3 Y el valor de la determinación se ajusta de manera que la última cifra significativa coincida con la cifra significativa de la incerteza. La aproximamos a la cifra inmediatamente superior si la siguiente cifra significativa supera al 5 (“regla del 5 para la determinación”). V = 290,86 cm3 → informamos V = 290 cm3 De esa manera, informamos: V = (290 ± 20) cm3 En Introducción a la Física y en Física I el alumno realizó (o realizará) cálculos de incertezas para funciones que sólo involucren productos o cocientes, incluyendo el cálculo ilustrado en este preciso ejemplo. Esos cálculos son relativamente sencillos y no se necesita recurrir a estimación por diferenciales para funciones algebraicas, pero en el caso de funciones trascendentes resultaría muy difícil prescindir de esta herramienta.

Ejemplo Un agrimensor intenta determinar la altura de una torre. Al observar la punta de la construcción, su teodolito forma un ángulo de 72 grados con el suelo, estando situado a una distancia de 30 m del pie de la torre. Si el teodolito está graduado en mitades de grado, y la distancia se midió con una incerteza de 1 cm, determinar la altura de la torre, estimar la incerteza de la indeterminación e informar el resultado. L h θ