Regla de la cadena en varias variables Aprendiendo a derivar funciones compuestas

Planteo del problema a resolver Hemos estudiado hasta ahora funciones de dos variables f(x;y). De la misma manera que en funciones de una variable, x y y pueden a su vez ser funciones de una variable t. Tendríamos entonces la composición f(x(t);y(t)) = f(r(t)) = f(t) Esto es, la composición de una función escalar de dos variables f(x;y) con una función vectorial de una variable r(t) = (x(t);y(t)) nos arroja una función escalar de una variable f(t). Si tanto f(x;y) como x(t) y y(t) son diferenciables, nos proponemos encontrar f´(t), la derivada de dicha función compuesta. Para ello, plantearemos qué significa que f sea diferenciable en primer lugar.

De la definición de diferenciabilidad para campos escalares de dos variables Dado un campo escalar f(x;y), se dice que f es diferenciable en (x0; y0) si dados incrementos Δx, Δy de sus variables es posible expresar el incremento del valor de la función como: donde se cumple: Observemos que el miembro izquierdo de esa ecuación es equivalente al incremento de la variable dependiente, Δz. Podemos reescribir entonces: (✡)

Si ahora queremos encontrar la derivada f´(t), debemos hacer el límite Dividimos (✡) por Δt para preparar el cociente incremental Y ahora sí planteamos el límite:

Como x(t) y y(t) son funciones continuas (por ser diferenciables), podemos escribir que Δx → 0 y Δy → 0 cuando Δt → 0. De esa forma: Si esto que hemos deducido para un punto concreto lo extendemos a un punto genérico (x;y) en el dominio de f, hemos demostrado el siguiente teorema.

Teorema (Primer caso de la regla de la cadena) Si z = f(x;y) es una función diferenciable de x y y, y x = x(t) y y = y(t) son funciones diferenciables de t, entonces la composición z = f(x(t);y(t)) es una función diferenciable de t, y:

Ejemplo Dadas las funciones f(x;y) , x(t) y y(t) indicadas abajo, obtener la derivada de la función compuesta z = f(x(t);y(t)) .

Teorema (Segundo caso de la regla de la cadena) Si z = f(x;y) es una función diferenciable de x y y, y x = x(s;t) y y = y(s;t) son funciones diferenciables de s y t, entonces la composición z = f(x(s;t);y(s;t)) es una función diferenciable de s y t, y:

Diagrama de árbol (Segundo caso de la regla de la cadena) z = f(x;y) y x s t Para obtener la derivada parcial respecto a s debo multiplicar las ramas que me lleven a s en el lado izquierdo. Lo mismo en el lado derecho, y luego sumar los dos resultados. Similarmente para derivar respecto a t.

Ejemplo Dadas las funciones f(x;y) , x(s;t) y y(s;t) indicadas abajo, obtener la derivada de la función compuesta z = f(x(s;t);y(s;t)).

Derivación implícita El concepto de la regla de la cadena puede asociarse al de derivación implícita, que ya habíamos visto. Una función puede definirse implícitamente mediante la expresión: F(x;y) = 0 Si ahora consideramos que tanto x como y son funciones de x, podemos derivar F respecto a x aplicando la regla de la cadena:

Teorema (derivación implícita) Si se dan las siguientes condiciones: F(x;y) está definida en un disco que contiene a (a;b) Fx y Fy son continuas en ese disco, y Fy(a;b) ≠ 0 F (a;b) = 0 En ese caso, la expresión F(x;y) = 0 define implícitamente a y en función de x en las cercanías de (a;b), y su derivada en ese punto viene dada por:

Ejemplo Mostrar que la expresión de abajo define implícitamente a y en función de x y encontrar y´, indicando el dominio de validez de la expresión.

Extensión a más variables Es posible extender los conceptos vistos a casos de más variables. Por ejemplo en la expresión F(x;y;z) = 0 tendremos que z está definida como función implícita de x y y si se cumplen las mismas condiciones vistas para dos variables (básicamente, derivadas parciales continuas en un abierto que incluye al punto, y no nulas las que van en denominadores). En tal caso tendremos: