Inferencia Estadística Conceptos Previos

Conceptos Previos Población: Es la colección de toda la posible información que caracteriza a un fenómeno aleatorio. Muestra: Es un subconjunto representativo de la población. Variables aleatorias. Es la característica de interés del fenómeno aleatorio en estudio. Se denotan por letras mayúsculas X, Y, Z, etc. Por ejemplo: Números de artículos defectuosos. Tiempo de duración de un artículo. Monto de las utilidades de una empresa.

Conceptos Previos Las variables aleatorias se clasifican en: Variables discretas: Son aquellas cuyo recorrido es un conjunto finito o infinito enumerable. (RecX={0,1,2,3,4,….}) Obedecen a situaciones de conteo. Ejemplos: 1. Número de personas que llegan a un banco en determinada hora. 2. Número de automóviles que cruzan cierta intersección.

Conceptos Previos Variables continuas: Son aquellas cuyo recorrido es uno o mas intervalos reales. (RecX = [0,100]) Obedecen a situaciones de medición. Ejemplos: 1. Tiempo de duración de una ampolleta. 2. Diámetro de un rodamiento.

Conceptos Previos Por otro lado, es posible definir a una variable aleatoria como una función, que asigna a cada elemento S del espacio muestral un valor real x. Ejemplo: Consideremos el experimento “lanzar dos monedas”, su espacio muestral es Si la variable aleatoria es X: “número de caras”, entonces tal que

Distribuciones de probabilidad Una distribución de probabilidad es una función que permite obtener la probabilidad de que una variable aleatoria X asuma un valor cualquiera x. f(x) = P(X=x) El carácter aleatorio de una variable estadística, que supone la imposibilidad de realizar con total exactitud una afirmación respecto de ella, hace necesario disponer de una función que permita formular dichas afirmaciones en términos probabilísticos. Las condiciones para que una función sea de probabilidad dependen de si la variable es discreta o continua.

Distribuciones de probabilidad Función de cuantía: Si X es una variable aleatoria discreta, entonces es función de probabilidad discreta o función de cuantía si: Ejemplo: La función es una función de cuantía. En efecto, se cumple:.

Distribuciones de probabilidad Función de densidad: Si X es una variable aleatoria continua, entonces es función de probabilidad continua o función de densidad si: Ejemplo: La función es una función de densidad. En efecto, se cumple:.

Distribuciones de probabilidad Cálculo de probabilidades. Función de probabilidad Función de cuantía (discreta)Función de densidad (continua)

Distribuciones de probabilidad Propiedades de probabilidades. 1) Propiedades del complemento 2) Propiedad válida solo para variables continuas

Distribuciones de probabilidad Ejemplos: 1) Sea X variable aleatoria discreta con función de cuantía

Distribuciones de probabilidad Ejemplos: 1) Sea X variable aleatoria continua con función de densidad

Distribuciones de probabilidad La forma de calcular esta función depende de si la variable es discreta o continua. Distribución de probabilidad acumulada. Una distribución de probabilidad acumulada es una función que permite calcular la probabilidad de que la variable aleatoria X sea menor o igual a un valor x. Se denota por F(x).

Distribuciones de probabilidad Interpretación gráfica de la función de probabilidad acumulada. Si X es una variable continua, la gráfica de la función de probabilidad f(x) es una curva en el plano. Mientras que la función de probabilidad acumulada F(x) representa al área bajo esta curva hasta el valor x.

Distribuciones de probabilidad Ejemplo: Sea X variable aleatoria continua con función de densidad Por definición, considerar los siguientes casos

Distribuciones de probabilidad Por tanto la función de distribución acumulada es: Se puede utilizar esta función para calcular las siguientes probabilidades

Distribuciones de probabilidad

Esperanza y Varianza Esta esperanza o media poblacional también se suele denotar como, y se debe diferenciar de la media muestral. Valor esperado de una variable aleatoria. El valor esperado o esperanza de una variable aleatoria X es el promedio o valor medio de X y está dado por:

La varianza poblacional también se suele denotar como, y se debe diferenciar de la varianza muestral. Esperanza y Varianza Varianza de una variable aleatoria. La varianza de una variable aleatoria X es una medida de la dispersión de la distribución de probabilidad de esta. En donde Desviación Estándar:

Distribuciones de probabilidad Ejemplo: Sea X variable aleatoria continua con función de densidad

Esperanza y Varianza Por tanto: