UNIVERSIDAD INTERAMERICANA DE PUERTO RICO MATRICES UNIVERSIDAD INTERAMERICANA DE PUERTO RICO RECINTO DE FAJARDO Proyecto MSP-II

MATRIZ Una matriz es un arreglo rectangular con entrada de datos (elementos) en filas y columnas y encerradas en corchetes. El número de filas y columnas en la matriz determina su dimension. COLUMNA1 COLUMNA2 COLUMNA3 COLUMNA4 FILA 1 1 3 5 12 FILA 2 4 11 6 FILA 3 7 -5 FILA 4 -2 13 9

Elementos de una matriz Observe la siguiente imagen de la derecha. Están rotuladas qué son filas y qué son columnas El elemento que ocupa la primera fila y primera columna es 𝑎 11 . El elemento que ocupa la tercera fila y segunda columna es 𝑎 32

Suma y resta de matrices Para poder sumar dos o más matrices, debemos tener matrices de las mismas dimensiones. Esto es, la misma cantidad de filas en cada matriz y la misma cantidad de columnas en cada matriz.

Multiplicación por un escalar Si A es una matriz 𝑚 ×𝑛 y s es un escalar, entonces kA, será la matriz resultante de multiplicar a cada elemento de A por k. Este procedimiento se le llama multiplicación por un escalar.

Ejercicios Determinar las dimensiones de las siguientes matriz: dim A=____, dim B=______, dim C=______ Identifica el elemento de las matrices anteriores: 𝑎 21= ________ 𝑏 32=_______ 𝑐 23=_______

Efectúa las operaciones indicadas: 1) 6 3 2 −4 + 5 7 2 14 −4 5 2 8 −1 9 −2 27 4 - 19 7 34 4 0 −11 13 −3 4 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 + 6 −9 2 0 = 7 −1 1 5 , 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑤, 𝑥, 𝑦 𝑧.

𝐵= 7 0 −1 2 𝑦 𝐺= 1 5 −2 8 , hallar 2G + 3B 𝐷= 9 3 2 −4 8 −7 𝑦 𝐽= 8 2 −3 −4 9 0 , hallar 3D – J 𝐹= 5 2 𝑦 𝐻= 8 0 , hallar F – H

Multiplicación de matrices Para efectuar la multiplicación se deberá tener unas condiciones. La cantidad de columnas de la primera matriz debe ser la misma cantidad de fila de la segunda matriz. Veamos el siguiente ejemplo. La matriz A tiene dimensión de 4×2 y la matriz B es de 2×3

Al multiplicar, la fila 1 de la matriz A multiplica a cada elemento de la columna 1 de la matriz B, y se suma esos productos. Se escribe en la primera fila primera columna de la respuesta. Luego, cada elemento de la fila 1 de la Matriz A por la segunda columna de la Matriz B y se escribe en la primera fila columna 2. Así se hace con las otras filas y columnas B = 3 −5 8 2 y C = 3 7 −1 0 5 3 Hallar CB 3 7 −1 0 5 3 3 −5 8 2 = 65 −1 −3 5 39 −21 =3(3)+ 7(8) = 65 =3(-5) + 7(2) = -1 =-1(3) + 0(8) = -3 =-1(-5) +0(2) = 5 =5(3) + 3(8) = 39 =5(-5) + 2(2) = -21

Matriz identidad Si una matriz tiene la misma cantidad de fila y la misma cantidad de columna posee una matriz identidad. A esta matriz se le llama matriz cuadrada. Su matriz identidad tiene en su diagonal principal el 1 y fuera de ahí sus elementos son 0. Veamos los siguientes ejemplos. Diagonal principal

Matriz inversa de una matriz 2 𝑥 2

Resolver ecuaciones simultáneas con matriz inversa

Resolver ecuaciones simultáneas con determinantes Se busca la determinante de la matriz original esto es, la matriz con los coeficientes de cada ecuación. Se busca la determinante de la matriz de cada variable en donde la variable que se está buscando se le escribe el valor del resultado. Al final cada determinante de las matrices de las variables se divide por la matriz original. Veamos el siguiente ejemplo: 𝐴 0 =𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 𝐴 0 = 1 3 2 5 𝐴 𝑥 = matriz de la variable x 𝐴 𝑥 = 1 3 3 5 𝐴 𝑦 = matriz de la variable y. 𝐴 𝑦 = 1 1 2 3

Se busca la determinante de cada matriz y luego, se realiza la siguiente operación. X = 𝐴 𝑥 𝐴 0 , Y = 𝐴 𝑦 𝐴 0 Resolver: 𝐴 0 = 5(1) – 2(3) = 5 – 6 = − 1 𝐴 𝑥 = 5 1 – 3 3 = 5 – 9 = −4 𝐴 𝑦 = 3(1) – 2(1) = 3 – 2 = 1 Luego, debemos de: X = 𝐴 𝑥 𝐴 0 = −4 −1 =4 Y = 𝐴 𝑦 𝐴 0 = 1 −1 =−1