Apuntes Matemáticas 2º ESO TEMA 10.7 * 2º ESO PROBLEMAS @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Problemas de Pitágoras Ejemplo_1 Al construir un marco para una ventana rectangular, un carpintero mide el largo y la diagonal, que le dan 8 dm y 10 dm respectivamente. ¿Qué tiene que medir el alto para que el marco esté bien hecho?. Como la ventana ha de ser un rectángulo, se debe cumplir el Teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2  102 = 82 + h2  h2 = 100 – 64  h2 = 36  h = 6 dm debe medir. La otra solución de la ecuación, h = - 6 cm Es imposible porque sólo hay longitudes positivas. 10 cm h 8 cm @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Problemas de Pitágoras Ejemplo_2 Una escalera mide 13 m de larga. La colocamos inclinada sobre una pared, de modo su base está separada 5 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera en estas condiciones?. Como pared y el suelo forman un ángulo de 90º, podemos aplicar el Teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2  132 = 52 + h2  169 = 25 + h2  h2 = 169 – 25 = 144 h = √144 = 12 m alcanza la escalera. La otra solución, - 12 m , no vale. 13 m h 5 m @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO CUADRADO Diagonal de un cuadrado Recta que une dos vértices opuestos. Por el Teorema de Pitágoras: d=d’ = √( l2 + l2 ) = √2.l2 = l.√2 Las diagonales son rectas que se cortan en su punto medio y son perpendiculares. Las dos son iguales en medida. Ejemplo: Hallar la diagonal del cuadrado de lado l= 5 cm d=√( 52 + 52 ) = √(25+25)= = √2.25 = 5.√2 cm l d d’ l l l d = l.√2 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO RECTÁNGULO Diagonal: Recta que une dos vértices opuestos. Por el Teorema de Pitágoras: d=d’ = √( b2 + h2 ) Las diagonales se cortan en su punto medio. Son iguales. Ejemplo: Hallar la diagonal del rectángulo de 8 cm de base y de 6 cm de altura. d=√( 82 + 62 ) = = √( 64 + 36 ) = √100 = 10 cm b d’ d h h b d = √( b2 + h2 ) @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO ROMBOIDE Las diagonales son distintas, no forman ángulo recto y no forman un triángulo rectángulo con otros elementos del romboide. El lado oblicuo de un romboide es hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son el segmento c y la altura h. Por el Teorema de Pitágoras: l = √( c2 + h2 ) Nota: La altura es un dato que nos suelen dar, pero no así el segmento c. b l h l c b l = √( c2 + h2 ) @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO ROMBO Las diagonales son rectas que unen vértices opuestos. Las dos diagonales son distintas y perpendiculares. En el triángulo rectángulo resaltado, en rojo, por el Teorema de Pitágoras: l = √ [ (D/2)2 + (d/2)2 ] Ejemplo: Hallar el lado del rombo cuyas diagonales miden 10 cm y 24 l = √ [ (D/2)2 + (d/2)2 ] = = √ [ (24/2)2 + (10/2)2 ] = = √ (122 + 52) = √ 169 = 13 cm l = √ [ (D/2)2 + (d/2)2 ] l l d D l l @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO TRAPECIO ISÓSCELES Es aquel en que los dos lados no paralelos son IGUALES. P = B + b + 2.l A = [ (B+b)/2 ].h EJEMPLO_1 En un trapecio isósceles las bases miden 13 y 5 cm y la altura mide 3 cm. Hallar el lado oblicuo, el perímetro y el área. Por Pitágoras: Cateto mayor = altura= 3 cm Cateto menor = (B – b) / 2 = (13-5)/2 = 4 cm Hipotenusa = lado oblicuo = l Luego l = √(h2 + [(B–b)/2]2) = √ (32 + 42) = = √ (9 + 16) = √25 cm = 5 cm P = 13+5+2.5 = 13+5+10 = 28 cm A = [(13+5)/2].3 = (18/2).3 = 9.3 = 27 cm2 b l l h B Por el Teorema de Pitágoras: l = √ { h2 + [ ( B – b ) / 2 )2 ] } l = hipotenusa. h = un cateto. (B-b)/2 = el otro cateto. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO EJEMPLO_2 En un trapecio isósceles las bases miden 11 y 5 cm y el área vale 48 cm2. Hallar la altura, los lados oblicuos y dibujarlo. b=5 l l h h Sabemos que: A = [(B+b) / 2].h Luego 48 = [(11+5)/2].h  48 =(16/2).h  48 = 8.h  h = 6 cm Además a ambos lados se forma un triángulo rectángulo: Cateto mayor = altura , cateto menor = (B – b) / 2 , hipotenusa = lado l Luego l = √ (h2 + [(B – b)/2]2) = √ (62 + [(11 – 5)/2]2) = √ (36 + 9) = √45 cm B = 11 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO TRAPECIO RECTÁNGULO Es aquel en que uno de los lados no paralelos es perpendicular a las bases. PERÍMETRO: P = B + b + l + h AREA: A = [ ( B + b ) / 2 ].h En el triángulo rectángulo que se resalta, por el Teorema de Pitágoras: l = √ { h2 + [ ( B – b )2 ] } l = hipotenusa. h = un cateto. (B - b) = el otro cateto. b l h h @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO B

Apuntes Matemáticas 2º ESO Ejemplo_1 Hallar el lado oblicuo del trapecio rectángulo cuyas bases miden 12 cm y 16 cm y cuya altura mide 5 cm Por el Teorema de Pitágoras: l = √ { h2 + [ ( B – b )2 ] } Sustituyendo los valores conocidos: l = √ { 52 + [ ( 16 – 12 )2 ] } = = √ (52 + 42) = √ (25 + 16) = = 6,40 cm Ejemplo_2 Hallar la altura del trapecio rectángulo cuyas bases miden 22 cm y 16 cm y cuyo lado oblicuo mide 10 cm Por el Teorema de Pitágoras: l = √ { h2 + [ ( B – b )2 ] } Sustituyendo los valores conocidos: 10 = √ ( h2 + 62 ) ; 100 = h2 + 36 ; 64 = h2  h = 8 cm b h l h B @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO EXÁGONO Es un polígono regular de SEIS lados. Se compone de 6 triángulos equiláteros. Todos sus ángulos miden 60º La altura de cada uno de los seis triángulos se llama Apotema. La apotema se puede deducir por el Teorema de Pitágoras, pues: l= hipotenusa. l/2= un cateto. apo= otro cateto. Teniendo: l2 = (l/2)2 + apo2 apo2 = l2 - (l/2)2 De donde: apo = l. √3 / 2 l l l apo l l P = 6.l A = P.apo / 2 l apo @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO l / 2

Apuntes Matemáticas 2º ESO Ejemplo_1 Hallar la apotema de un hexágono regular cuyo lado mide 6 cm Como en un hexágono se cumple que l2 = (l/2)2 + apo2 Sustituyendo los valores conocidos: 62 = 32 + apo2 Despejando: apo2 = 62 - 32  apo2 = 36 – 9 = 27  apo = √27 = 5,20 Ejemplo_2 Hallar el lado del hexágono regular cuya apotema mide 4 cm. l2 = (l2 / 4) + 42 Operando: 4.l2 = l2 + 64  3.l2 = 64  l = √(64/3) = 4,6188 cm @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO