Sistema de Ecuaciones Las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas o ecuaciones lineales son de la forma a x + b y = c Donde a y b son los coeficientes de las variables, y “c” es el término independiente. Una ecuación de primer grado con dos incógnitas tiene infinitas soluciones. Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas es un conjunto de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

La forma general de un sistema de ecuaciones lineales 𝒂 𝟏 𝒙+ 𝒃 𝟏 𝒚= 𝒄 𝟏 𝒂 𝟐 𝒙+ 𝒃 𝟐 𝒚= 𝒄 𝟐 Resolver un sistema es encontrar los valores de las variables o incógnitas que hacen verdadera las dos ecuaciones del sistema. Solución de un sistema es un par de números (a,b) o, es lo mismo x = a ,e, y = b , que al sustituirlos en las ecuaciones las transforman en igualdades numéricas.

Dado un sistema de ecuaciones en dos variables o incógnitas, uno y sólo uno de los siguientes enunciados es verdadero. El sistema tiene exactamente una solución El sistema tiene un número infinito de soluciones El sistema no tiene solución Observe: Si ocurre (1) el sistema se llama consistente o compatible y las ecuaciones son independientes.

Si ocurre (2) las ecuaciones son dependientes y el sistema es compatible. Si ocurre (3) el sistema es inconsistente o incompatible Y las ecuaciones son independientes. Un criterio para decidir cuando las ecuaciones son dependientes, inconsistente o independientes sin necesidad de resolverlas:

Dadas dos ecuaciones lineales a x + b y = c y A x +B y = C Se dice que son: Independientes 𝑨 𝒂 ≠ 𝑩 𝒃 Inconsistente 𝑨 𝒂 = 𝑩 𝒃 ≠ 𝑪 𝒄 Dependientes 𝑨 𝒂 = 𝑩 𝒃 = 𝑪 𝒄

Observe sus gráficas: y 𝒓 𝟏 1) 𝒓 𝟐 x y 2) 𝐫 𝟏 𝒓 𝟐 𝒓 𝟏 y 3) 𝒓 𝟐

Resolvamos un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas por el método de igualación. Recuerda las cuatro fases que tendremos que seguir para resolver un problema: 1.- Comprender el problema. 2.- Plantear el sistema de ecuaciones. 3.- Resolver el sistema de ecuaciones por el método que creas más conveniente. 4.- Comprobar la solución.

Veamos el siguiente problema de la vida diaria: El equipo de futbol del colegio van a comprar uniformes y balones . Cotizan 10 uniformes y 2 balones, gastan $450.00 en un almacén; otro empleado cotiza 8 uniformes Y 5 balones a $ 500.00 ¿ Cuánto cuesta cada uniforme Y cada balón ? Solución: X representa el número de uniformes , “y” representa el número de balones.

Tendríamos el siguiente sistema de ecuaciones 10 x + 2 y = 450 (1) 8 x + 5 y = 500 (2) Primer paso Despejamos la variable x en la ecuación (1) tendremos 10 x + 2 y = 450 10 x = 450 – 2 y x = 𝟒𝟓𝟎 −𝟐 𝒚 𝟏𝟎 (3)

Despejamos la x en la ecuación de la (2) tendremos 8 x + 5 y = 500 8 x = 500 – 5 y x = 𝟓𝟎𝟎 −𝟓 𝒚 𝟖 (4) Segundo paso Igualamos los segundos miembros de las ecuaciones (3) Y (4) 𝟒𝟓𝟎 −𝟐 𝒚 𝟏𝟎 = 𝟓𝟎𝟎 −𝟓 𝒚 𝟖

Resolver la ecuación con una incógnita del paso anterior 8( 450 – 2 y) = 10 (500 – 5 y) 3600 – 16 y = 5000 – 50 y 50 y – 16 y = 5000 – 3600 34 y = 1400 Por lo tanto y = 𝟏𝟒𝟎𝟎 𝟑𝟒 = 𝟕𝟎𝟎 𝟏𝟕 = 41.18

Si sustituimos “y” en cualquiera de la ecuaciones (3) o (4) tendremos X = 𝟒𝟓𝟎 −𝟐𝐲 𝟏𝟎 = 𝟒𝟓𝟎 −𝟐 (𝟒𝟏.𝟏𝟖) 𝟏𝟎 = 𝟒𝟓𝟎 −𝟖𝟐.𝟑𝟔 𝟏𝟎 = 𝟑𝟔𝟕.𝟔𝟒 𝟏𝟎 = 36.76 La solución del problema es : (36.76,41.18)

El costo de cada uniforme es $ 36.76 y el costo de cada balón es $41.18 Comprobación: 10 X + 2 y = 450 10 ( 36.764) + 2 ( 41.18 ) = 450 367.64 + 82.36 = 450 450 = 450