INSTITUCION EDUCATIVA LA INMACULADA. TIERRALTA - CORDOBA ASIGNATURA: Algebra TEMA: Función y ecuación cuadrática OBJETIVO: Identificar las características de la función cuadrática, representarla en el plano cartesiano y hallar la solución. NOTA: Ver diapositivas en formato presentación y clicar de manera pausada. Lic. Omar Mora

FUNCION CUADRATICA

FUNCION CUADRATICA a, b y c ϵ R Definición. Se llama función cuadrática a una función polinómica de variable real, que tiene grado dos. La función cuadrática tiene la forma: El dominio de toda función cuadrática es el conjunto de los números reales, es decir que Df = R a, b y c ϵ R

Representación gráfica La gráfica de una función cuadrática, representa una parábola cuyo eje es paralelo al eje y. Esta parábola se abre hacia arriba si a> 0, y se dice que es cóncava hacia arriba. Ejemplo: La gráfica que corresponde a f(x) = 2x2 + 3x – 1 es: Graficador de funciones

Los coeficientes a y c “a” indica la Concavidad (abertura de la parábola), siendo mas angosta en la gráfica cuando “a” es paulatinamente mayor. La concavidad de la parábola es hacia arriba cuando “a” es positivo, y hacia abajo cuando “a” es negativo. “c” indica la intersección de la parábola con el eje Y. x y c (0,C)

En el plano cartesiano hay seis EJERCICIOS En el plano cartesiano hay seis Graficas de funciones cuadráticas que corresponden a las funciones dadas a continuación. Cada grafica pasa por una estrella. Analiza cada función en su orden y selecciona la estrella correspondiente a su respectiva grafica.

Eje de simetría y vértice El eje de simetría es la recta que pasa por el vértice de la parábola, y es paralela al eje Y. El vértice de una parábola es el punto más alto o más bajo de la curva, según sea su concavidad. Si la parábola es abierta hacia arriba, el vértice es un mínimo y si la parábola es abierta hacia abajo, el vértice es un máximo. Si f(x) = ax2 + bx + c , entonces: x y Eje de simetría Vértice a) Su eje de simetría es: b) Su vértice es:

Ejemplo: 2a -b x = 2·1 -2 x = x = -1 -b , f -b 2a V = En la función f(x) = x2 + 2x - 8, a = 1, b = 2 y c = - 8, entonces: 2a -b x = 2·1 -2 x = a) Su eje de simetría es:   x = -1 -b , f -b 2a V = b) Su vértice es:  V = ( -1, f(-1) )  V = ( -1, -9 ) f(x) V = ( -1, -9 ) x = -1 Eje de simetría: Vértice:

Discriminante Δ = b2 - 4ac Si f(x) = ax2 + bx + c , entonces: El discriminante se define como: a) Si el discriminante es positivo, entonces la parábola intersecta en dos puntos al eje X.

parábola NO intersecta al eje X. DISCRIMINATE b) Si el discriminante es negativo, entonces la parábola NO intersecta al eje X. Δ = b2 - 4ac c) Si el discriminante es igual a cero, entonces la parábola intersecta en un solo punto al eje X, es tangente a él.

Ecuación de segundo grado Una ecuación cuadrática o de segundo grado es de la forma: ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0 Toda ecuación de segundo grado tiene 2 soluciones o raíces. Estas soluciones se pueden encontrar: Graficando la función. Factorizando la ecuación. Aplicando formula general. Las ecuaciones cuadráticas pueden ser completas o incompletas. Por ejemplo. Incompletas Completas

Luego, la parábola intersecta al eje X en esos puntos. SOLUCION A TRAVES DE LA GRAFICA En la función f(x) = x2 - 3x - 4 , la ecuación asociada: x2 - 3x - 4 = 0 , tiene raíces -1 y 4. Luego, la parábola intersecta al eje X en esos puntos. x -2 -1 1 2 3 4 5 F(x) 6 -4 -6 f(x) = x2 - 3x - 4 f(0) = 02 – 3(0) - 4 f(-2) = (-2)2 – 3(-2) - 4 f(0) = - 4 f(-2) = 4 + 6 - 4 f(1) = (1)2 – 3(1) - 4 f(-2) = 6 f(1) = -6 f(-1) = (-1)2 – 3(-1) - 4 f(2) = (2)2 – 3(2) - 4 f(2) = - 6 f(-1) = 1+3 - 4 f(4) = (4)2 – 3(4) - 4 f(-1) = 0 f(4) = 16 – 16 f(4) = 0 SOLUCION. X =

SOLUCION APLICANDO FORMULA GENERAL Y FACTORIZACIÓN Si Ejemplo: Determinar las raíces de la ecuación: x2 - 3x - 4 = 0 De la ecuación dada: a=1, b= - 3, c= - 4 También se puede obtener las raíces de la ecuación factorizando como producto de binomios: -(-3) ± (-3)2 – 4·1(- 4) 2 x = 3 ± 9 + 16 2 x = x2 - 3x - 4 = 0 (x - 4)(x + 1) = 0 3 ± 25 2 x =  (x - 4)= 0 ó (x + 1)= 0 2 x = 8 x1 = 4 x2 = -1 x1 = 4 2 x = 3 ± 5 2 x = -2 x2 = -1

VIDEOS Y EJERCICIOS. VIDEO 1 DE EJERCICCIO Lic. Omar Mora VIDREO 2 DE EJERCICIO GRAFICAR: F(x) = 3X2 + 3X + 5 F(x) = - 2X2 – 3X G(x) = X2 – 2X – 3 H(x) = - 4X2 M(x) = - 3X2 – 2X - 1 HALLAR LA SOLUCIÓN DE 2X2 – 18 = 0 X2 – 9 = 0 3X2 – 5X – 2 = 0 2X2 + 9X = 5 – 2X2 + X – 1 = 0 X2 + 14X + 49 =0

MUCHAS GRACIAS POR SU ATENCION PRESTADA