JOHNY QUINTERO Tema 2. Límites 1 Límites 1.Índice 2.¿Qué es el Cálculo? 3.El problema del área 4.Introducción a los límites 5.Límites que no existen 6.Definición formal de límite 7.Cálculo analítico de límites 8.Continuidad en un punto 9.Definición de continuidad 10.Discontinuidades Límites 11.Límites laterales 12.Continuidad en un intervalo 13.Propiedades de la continuidad 14.Teorema del valor intermedio 15.Límites infinitos 16.Asíntotas verticales 17.Propiedades de los límites infinitos 18.Concepto de límite infinito 19.Definición de límites en el infinito 20.Propiedades de los límites en el infinito 21.Formas indeterminadas 0/0, /  22.Formas indeterminadas 0. , -  23.Formas indeterminadas 1 ,  0, Asíntotas horizontales 25.Asíntotas oblicuas 26.Ejemplo

¿Qué es el Cálculo? Tema 1. Preliminares de Cálculo 2 Tema 2. Límites El Cálculo es la matemática de los cambios, velocidades y aceleraciones. Se estudian las rectas tangentes, pendientes, áreas, volúmenes, longitudes de arco,... y una gran variedad de conceptos para crear modelos para las situaciones de la vida real. tasa de variación media t=a t=b tasa de variación instantánea en t=c Describe un objeto que se mueve con velocidad constante Describe la velocidad de un objeto que se mueve aceleradamente Describe la pendiente de una recta Describe la pendiente de una curva Describe el área de un réctángulo Describe el área bajo una curva xx yy dx dy Matemáticas previas al Cálculo Estáticas Cálculo Dinámico JOHNY QUINTERO

Se puede estimar su área usando varios rectángulos Y=f(x) El problema del área Tema 1. Preliminares de Cálculo 3 Tema 2. Límites El objetivo es determinar el límite de la suma de las áreas de los rectángulos cuando su número crece sin tope Consideremos la región limitada por la gráfica de la función y=f(x), el eje x y las rectas verticales x=a y x=b Y=f(x) Al hacer crecer el nºde rectángulos la aproximación va mejorando cada vez más Y=f(x) x=ax=b JOHNY QUINTERO

Introducción a los límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 4 Tema 2. Límites Supongamos que necesitamos dibujar la gráfica de la función Con los procedimientos usuales para x  1 obtenemos (1,3) ¿Qué sucede en las proximidades de x=1? x tiende a 1 por la izquierda f(x) tiende a 3 x tiende a 1 por la derecha f(x) tiende3 x0,75090,990,99911,0011,011,11,25 f(x)2,3132,7102,9702,997?3,0033,0303,3103,813 A pesar de que x no puede ser igual a 1, podemos acercarnos arbitrariamente a 1, y como resultado, f(x) se acerca arbitrariamente a 3. Esto se lee “el límite de f(x) cuando x tiende a 1 es 3 JOHNY QUINTERO

Límites que no existen Tema 1. Preliminares de Cálculo 5 Tema 2. Límites Comportamientos típicos asociados a la no existencia de un límite f(x) tiende a números diferentes según x tienda a c por la derecha o por la izquierda f(x)=-1 f(x)= f(x) oscila entre dos valores fijos cuando x tiende a c. x 11 1 El límite no existe f(x) crece o decrece sin cota cuando x tiende a c JOHNY QUINTERO

Definición formal de límite Tema 1. Preliminares de Cálculo 6 Tema 2. Límites A partir de los ejemplos Si f(x) se acerca arbitrariamente a un número L cuando x tiende a c por cualquiera de sus dos lados, decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a c es L, y escribimos Formalmente Sean f una función definida en un intervalo abierto que contiene a c (salvo, posiblemente, en c) y L un número real. La afirmación significa que para todo   0 existe un   0 tal que si Si el límite de una función existe, entonces es único JOHNY QUINTERO

Cálculo analítico de límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 7 Tema 2. Límites 1.Límites básicos 2.Propiedades de los límites 3.Límites de funciones polinómicas y racionales 4.Límite de una función radical 5.Límite de una función compuesta 6.Límites de funciones trigonométricas 7.Técnicas de cancelación y racionalización 8.Regla del Sandwich 9.Límites trigonométricos especiales JOHNY QUINTERO

Continuidad en un punto Tema 1. Preliminares de Cálculo 8 Tema 2. Límites Una función es continua en x=c si no hay interrupción de la gráfica de f en c No hay “saltos”, “agujeros” ni “aberturas” Condiciones para que el gráfico de f no sea continuo en x=c f (c) no está definida en x=c No existe límite de f (x) en x=c El límite de f (x) en x=c existe, pero no es igual a f (c) a c b a c b a c b JOHNY QUINTERO

Definición de Continuidad Tema 1. Preliminares de Cálculo 9 Tema 2. Límites Decimos que una función f es continua en x=c si se satisfacen las tres condiciones siguientes f (c) está definida. existe Continuidad en un punto Decimos que una función f es continua en un intervalo abierto (a,b) si es continua en cada punto del intervalo. Una función que es continua en toda la recta real (- ,  ) se llama continua en todas partes Continuidad en un intervalo abierto JOHNY QUINTERO

Discontinuidades Tema 1. Preliminares de Cálculo 10 Tema 2. Límites Sea I un intervalo abierto que continene un número real c. Si una función f está definida en I (salvo, posiblemente, en c) y no es continua en c se dice que f tiene una discontinuidad en c discontinuidades evitables discontinuidades inevitables f se puede hacer continua definiendo (o redefiniendo) apropiadamente f (c) f no se puede redefinir para evitar la discontinuidad Discontinuidad evitable en x= Discontinuidad inevitable en x=1 JOHNY QUINTERO

Límites laterales Tema 1. Preliminares de Cálculo 11 Tema 2. Límites c Límite por la derecha x x tiende a c para valores superiores a c Límite por la izquierda x x tiende a c para valores inferiores a c Ejemplo Función parte entera Existencia de límite Sean f una función y sean L y c números reales. El límite de f(x) cuando x tiende a c es L si y solo si JOHNY QUINTERO

Continuidad en un intervalo Tema 1. Preliminares de Cálculo 12 Tema 2. Límites Decimos que una función f es continua en un intervalo cerrado [a,b] si es continua en el intervalo abierto (a,b) y Continuidad en un intervalo cerrado La función es continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b [a[a ]b]b JOHNY QUINTERO

Propiedades de la continuidad Tema 1. Preliminares de Cálculo 13 Tema 2. Límites Si b es un número real y f, g son continuas en x=c, entonces las siguientes funciones también son continuas Múltiplo escalar: bf Producto: fg Suma y diferencia: Cociente: Las funciones de los tipos siguientes son continuas en sus dominios Funciones polinómicas: Funciones racionales: Funciones radicales: Funciones trigonométricas: Muchas funciones elementales son continuas en sus dominios Si g es continua en x=c y f es continua en g(c), la función compuesta (f o g)(x)=f(g(x)) es continua en c JOHNY QUINTERO

Teorema del valor intermedio Tema 1. Preliminares de Cálculo 14 Tema 2. Límites [ ] a c 1 c 2 c 3 b f(a) - k - f(b) - Si f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y k es cualquier número entre f(a) y f(b), existe al menos un número c en tal que f(c)=k Útil para localizar ceros de una función continua en un intervalo cerrado Si f es continua en [a,b] y f(a) y f(b) difieren de signo, entonces existe al menos un cero de f en [a,b] (Teorema de Bolzano) Ejemplo Tiene un cero en el invervalo [0,1] f es continua en [0,1] (c,0) (1,2) 1 0 (0,-1) JOHNY QUINTERO

Límites infinitos Tema 1. Preliminares de Cálculo 15 Tema 2. Límites Análogamente la expresión existe un  0 tal que f(x)  N siempre que 0  l x-c l  . significa que para todo N  0 Sea f una función definida en todo número real de un intervalo abierto que contiene a c, salvo, posiblemente, en el propio c. La expresión significa que para todo M  0 existe un  0 tal que f(x)  M siempre que 0  l x-c l  . M c  x y Para definir el límite infinito por la izquierda, basta sustituir 0  l x-c l   por c-  x  c  Para definir el límite infinito por la derecha, basta sustituir 0  l x-c l   por c  x  c +  f decrece sin cota cuando x tiende a 2 por la izquierda f crece sin cota cuando x tiende a 2 por la derecha Ejemplo 2 JOHNY QUINTERO

Asíntotas verticales Tema 1. Preliminares de Cálculo 16 Tema 2. Límites Si f(x) tiende a infinito (o menos infinito) cuando x tiende a c por la derecha o por la izquierda, se dice que la recta x =c es una asíntota vertical de la gráfica de f Observación Si una función f posee una asíntota vertical en x =c, entonces f no es contínua en c Ejemplos Asíntota en x=-1 Asíntotas en x=-1, x=1 1 JOHNY QUINTERO

Propiedades de los límites infinitos Tema 1. Preliminares de Cálculo 17 Tema 2. Límites Sean c y L números reales, y sean f y g funciones tales que Suma o diferencia Producto Cociente Propiedades análogas son válidas para límites laterales y para funciones cuyo límite cuando x tiende a c es - JOHNY QUINTERO

Concepto de límite en el infinito Tema 1. Preliminares de Cálculo 18 Tema 2. Límites Supongamos que necesitamos dibujar la gráfica de la función Gráficamente los valores de f(x) parecen aproximarse a 3 cuando x crece sin tope x decrece sin tope f(x) se acerca a 3 x crece sin tope f(x) se acerca 3 x -   f(x) 33 2,9992,971,50 2,972,999 33 Límite en -  Límite en +  JOHNY QUINTERO

Definición de Límites en el infinito Tema 1. Preliminares de Cálculo 19 Tema 2. Límites La expresión significa que para todo   0 existe un M  0 tal que l f(x)  L l  siempre que x  M M  x y Sea L un número real. La expresión significa que para todo   0 existe un  N  tal que l f(x)  L l  siempre que x  N L JOHNY QUINTERO

Propiedades de los límites en el infinito Tema 1. Preliminares de Cálculo 20 Tema 2. Límites Si Suma Producto Propiedades análogas son válidas para límites en - existen ambos Cociente Si r es un número racional positivo y c es cualquier número real, entonces Además, si x r está definida para x , entonces JOHNY QUINTERO

Formas indeterminadas, Tema 1. Preliminares de Cálculo 21 Tema 2. Límites Sea p un número real, +  o -  es del tipo no es el resultado de ningún límite Los límites de este tipo pueden tener resultados diversos Es un tipo de indeterminación Si f y g son polinomios, descomponer en factores y simplicar puede ayudar a resolver la indeterminación Para resolver la indeterminación se puede intentar dividir todos los términos por x elevado a la potencia más alta JOHNY QUINTERO

Formas indeterminadas, Tema 1. Preliminares de Cálculo 22 Tema 2. Límites Es fácil transformar esta indeterminación en otra del tipo ya que cuando Se puede resolver multiplicando y dividiendo por la conjugada También se puede transformar en JOHNY QUINTERO

Formas indeterminadas Tema 1. Preliminares de Cálculo 23 Tema 2. Límites Para resolver la indeterminación se hace uso del número e Para resolver la indeterminación usualmente el límite se transforma (tomando logaritmos) en otro del tipo, y éste, a su vez, en otro del tipo También es habitual el uso de la Regla de L´Hôpital (Tema 3) JOHNY QUINTERO

Asíntotas horizontales Tema 1. Preliminares de Cálculo 24 Tema 2. Límites x y L La gráfica de f(x) tiende hacia la recta y=L cuando x crece sin cota La recta y = L es asíntota horizontal de la gráfica de f si o bien Ejemplos Asíntota vertical en x=-1 y=2 asíntota horizontal 2 asíntota horizontal por la derecha asíntota horizontal por la izquierda JOHNY QUINTERO

Asíntotas oblícuas Tema 1. Preliminares de Cálculo 25 Tema 2. Límites La función f(x) se va aproximando a la asíntota oblícua cuando x tiende a -  o a +  Ejemplo 2 2 Asíntota oblícua y = x Asíntota vertical en x=2 JOHNY QUINTERO

Ejemplo de aplicación de los límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 26 Tema 2. Límites Supongamos que f(t) mide el nivel de oxígeno en un estanque, donde f(t)=1 corresponde al nivel normal (sin polución) y el tiempo t se mide en semanas. Cuando t =0, se vierten resíduos orgánicos en el estanque y, con la oxidación de ese material, el nivel de oxígeno pasa a ser ¿Qué porcentaje del nivel normal de oxígeno hay en el estanque 1 semana después? ¿Y 2 semanas? ¿Y 10 semanas? ¿Y una vez transcurrido “suficiente” tiempo? l l l l ,75 - 0,5 - 0,25 - El nivel de oxígeno en el estanque tiende al nivel normal 1 cuando t tiende a JOHNY QUINTERO

Bibliografía Tema 1. Preliminares de Cálculo 27 Tema 2. Límites Cálculo y Geometría Analítica Larson, Hostetler, Eduards. Volumen 1, 1999 (6ª edición), Ed. McGraw-Hill JOHNY QUINTERO