Números complejos

Los números complejos C solucionan el defecto algebraico de los Reales R de que existan ecuaciones polinómicas con coeficientes reales que no tienen soluciones reales. Ej. x2 + 1 = 0. N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

Leonhard Euler (1.707 – 1.783) “Estos números no son nada, Con Euler los imaginarios se incorporan definitivamente en la Matemática.(1777) Leonhard Euler (1.707 – 1.783) “formulam littera i …” i2 = -1; introdujo la notación binómica. Demostró que el conjunto de los números “imaginarios” era cerrado para las cuatro operaciones básicas, así como para la potenciación y la radicación. “Estos números no son nada, ni menos que nada, lo cual necesariamente los hace imaginarios, o imposibles”.

Karl Friedrich Gauss (1777-1855) A los números enteros se han agregado las fracciones; a las cantidades racionales, las irracionales; a las positivas, las negativas; y a las reales, las imaginarias”.   Karl Friedrich Gauss (1777-1855) “Números íntegros complexos” K. F. Gauss (1831) “¿Qué es un número complejo?” Gauss dio la respuesta satisfactoria definitiva en 1831 al establecer la interpretación geométrica: x+iy → (x,y).

Definición Forma de par y rectangular

Representación de un número complejo Un número complejo puede representarse en forma de: Par ordenado z = (x, y) Forma binomial o rectangular z = x + yi Ejemplo. z = (-1, 4) z = -1 + 4i i = √-1

z = x + yi Si x= 0, se dice que es un imaginario puro. NOTACIÓN RECTANGULAR Un número complejo Z se escribe comúnmente como : z = x + yi x se llama la parte real de z: Re(z) := x y se llama la parte imaginaria de z: Im(z) :=y Si x= 0, se dice que es un imaginario puro. Si y= 0, z se comporta como un número real.

El plano complejo Z = (x,y) Eje imaginario Eje real Argand: Jean Argand - a librarian in Paris, published paper on complex plane in 1806

Ejemplo: Dibujar el número complejo z = -3-2i en el plano complejo

Conjugado El conjugado de un número complejo z = x + i y se define como: Gráficamente el conjugado es una reflexión respecto al eje real.

Forma Polar y Forma Trigonométrica

Forma polar Sea: Z = x+yi El plano complejo Módulo: Argumento: Eje imaginario Argand: Jean Argand - a librarian in Paris, published paper on complex plane in 1806 Eje real Argumento:

Forma Trigonométrica

Ejemplo: Escribir el siguiente número complejo z1=1+i, en forma polar y trigonométrica: módulo: argumento: solución

Convertir a representación trigonométrica Convertir a representación rectangular 8(cos 34º + i sen 34º) 5(cos 142º + i sen 142º) 3.5(cos 245º + i sen 245º) 6(cos 310º + i sen 310º)

Fórmula de Euler z = r (cos θ + i sen θ) ei q = cos θ + i sen θ Un número complejo puede ser expresado como sigue: z = r (cos θ + i sen θ) Para simplificar se usa la fórmula o identidad de Euler: ei q = cos θ + i sen θ El número complejo z puede ser expresado como: z = r ei q = |z| ei q (Fórmula de Euler)

Potencias de i Al elevar i a las potencias enteras se obtiene: Observamos que el comportamiento es cíclico, se repite cada cuatro potencias enteras. Es decir i 5, i 6, i 7 e i 8 tendrá los mismos valores, respectivamente.

Regla para calcular in Cuando la potencia n > 4, entonces se procede de la siguiente manera para hallar su valor: Se divide n para 4 El residuo de esta división será el nuevo exponente de i Entonces in=iresiduo Hallamos su valor

Ejemplo para calcular in Se divide n para 4 n = 322 Entonces i322 = i2 = -1 Calculamos i2 = -1

Ejercicios Calcule el valor de las siguientes expresiones: i21, i 62, i 91 Solución: i 21 = i 1 = i i 62 = i 2 = -1 i 91 = i 3 = -i

En la forma rectangular Operaciones En la forma rectangular

Suma y Resta Sean: Parte real Parte imaginaria Suma Resta

Ejemplos: Ejemplo:

Producto y División Producto División Sean: Parte real Parte imaginaria Producto División Se halla multiplicando el numerador y denominador por el conjugado del denominador

Dado: Z1 = 4 + 5i y Z2 = 2 + 3i. Hallar Z1*Z2

En la forma polar-trigon. Operaciones En la forma polar-trigon.

Multiplicación Sean los números complejos Z1 y Z2, su producto puede ser encontrado de la siguiente manera: Z1 = r1eiθ1 Z2 = r2eiθ2 Z1 Z2 = (r1eiθ1) (r2eiθ2) Z1 Z2 = r1r2ei(θ1 + θ2)

División Sean los números complejos Z1 y Z2, su división puede ser encontrado de la siguiente manera: Z1 = r1eiθ1 Z2 = r2eiθ2 Z1/ Z2 = (r1eiθ1) / (r2eiθ2) Z1/ Z2 = (r1/r2)e i (θ1 - θ2)

Potencia Sea Z un número complejo y n un numero entero, su potencia puede ser encontrado de la siguiente manera: Z = r e i θ Z n = (re i θ) n Z n = r n e i n θ

Fórmula de Moivre Potencias enteras de complejos en forma polar:

Ejercicios Encontrar el módulo

Ejercicios Efectuar las operaciones indicadas 3(cos 30º +isen 30º) · 5(cos 70º +isen 70º) 2(cos 57º +isen 57º) · (–8)(cos 63º +isen 63º) 6(cos 34º +isen 34º) / (–2.5(cos 45º +isen 45º)) 9(cos 17º +isen 17º) / 7(cos 123º +isen 123º)