MATRICES

Historia La definición de matriz aparece por primera vez en el año 1850, introducida por J. J. Sylvester. Sin embargo, hace más de dos mil años los matemáticos chinos habían descubierto ya un método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales empleando tablas con números.

Historia El inicio de la teoría de matrices se debe al matemático W. R. Hamilton, en 1853. En 1858, Arthur Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas y publicado en su escrito “Memorias sobre la teoría de matrices”. Donde define a las matrices y sus operaciones.

Definición Una matriz es un arreglo rectangular de números reales dispuestos en filas y columnas. Filas de la matriz A Columnas de la matriz A

Notación Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C.. Los elementos con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar que ocupan: aij, bij, cij “i”, indica la fila, “j”, la columna en la que se encuentra el elemento. Ej. a23 está en la fila 2 y columna 3. Se la puede expresar abreviadamente: A = (aij ).

Dimensión Si la matriz A tiene m filas y n columnas, se dice que es de dimensión u orden m x n (se lee “m por n”). Siempre en primer lugar el número de filas y en segundo lugar el de columnas. Se denota como: Amxn

Ejemplos A continuación algunos ejemplos de matrices: A tiene 2 filas y 2 columnas, diremos que su dimensión 2 x 2. ¿Qué elemento es a21? B tiene 2 filas y 3 columnas, diremos que su tamaño es 2 x 3. ¿Qué elemento es b23? C tiene 4 filas y 3 columnas, diremos que su dimensión 4 x 3. ¿Qué elemento es c32?

Diagonal principal Aparece dentro de las matrices cuadradas y se forma por los elementos a11, a22, a33, . . ., ann. Diagonal principal La diagonal secundaria es la formada por los elementos: a1n, a2,n−1, a3,n−2, . . ., an1. En la matriz D, la diagonal principal está formada por 1, 5, 0 y la diagonal secundaria está formada por 3, 5, -3.

TIPOS DE MATRICES

B es una matriz fila de dimensión 1 x 4 Tipos de matrices Matriz fila.- es la que sólo tiene una fila, es decir su dimensión es 1 x n. Ejemplo: B es una matriz fila de dimensión 1 x 4 B1x4

Tipos de matrices Matriz columna.- Es la que sólo consta de una columna, es decir su dimensión será m x 1. Ejemplo: Es una matriz columna de dimensión 3 x 1.

Tipos de matrices Matriz Rectangular.- Es una matriz que tiene el número de filas diferente al de columnas, siendo su orden m x n, m ≠ n. Ejemplo: Es una matriz de dimensión 3 x 2.

Tipos de matrices Matriz Cuadrada.- cuando tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir su dimensión es n x n. Matriz cuadrada dimensión 2x2 o simplemente de orden 2. Matriz cuadrada de orden 3.

Tipos de matrices Matriz Triangular superior.- Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos bajo la diagonal principal iguales a cero. Triangular superior

Tipos de matrices Matriz Triangular Inferior.- Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos sobre la diagonal principal iguales a cero. Triangular inferior

Tipos de matrices Matriz Diagonal .- Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos sobre y bajo la diagonal principal iguales a cero. Esto es aij = 0 si i ≠ j.

Tipos de matrices Matriz Escalar. Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos sobre y bajo la diagonal principal iguales a cero, y los elementos de la diagonal principal iguales entre sí.

Tipos de matrices Matriz Identidad. Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos iguales a cero, excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1 y se denota por Inxn

Matriz nula.- Es la que todos sus elementos son iguales a cero 2.- Tipos de matrices Matriz nula.- Es la que todos sus elementos son iguales a cero

3.-Transformaciones elementales Existen una serie de operaciones que se pueden hacer con las filas de una matriz y que permiten convertirla en una matriz escalonada: las transformaciones elementales. En general, si llamamos Fi a la fila i-ésima y Fj a la fila j-ésima, las transformaciones elementales son: Ejemplo F2  F3  Intercambiar dos filas. Fi  Fj.  Sumar a una fila los elementos correspondientes de otra fila multiplicada por un nº real k. Fi  Fi + kFj F1  F1 + 2F3  Multiplicar todos los elementos de una fila por un número real no nulo. Fi  kFi F2  2F2

3.-Transformaciones elementales Estas transformaciones permiten definir una equivalencia entre las matrices de igual dimensión. Dos matrices son equivalentes si una de ellas se obtiene a partir de la otra mediante transformaciones elementales. EJEMPLO Reducir a forma escalonada la matriz Para facilitar los cálculos posteriores, hacemos que el elemento a11 sea 1: F2  F2 – 2F1 F3  F3 + F1 F1  F2 Hacemos que los demás elementos de la primera fila sean 0: F3  F3 + 5F2 Que está en forma escalonada Hacemos que el elemento a32 sea 0:

3.-Transformaciones elementales EJERCICIO Reduce a forma escalonada las matrices:

OPERACIONES DE MATRICES

Igualdad Dos matrices A y B son iguales cuando contienen los mismos elementos, dispuestos en los mismos lugares: A = B  aij = bij  i, j Lógicamente, para que dos matrices sean iguales es necesario que tengan la misma dimensión.

Halle los valores de cada incógnita para que cada una de las siguientes igualdades se cumpla: X-5 0 2 0 = 9 14 9 y+4

Suma Dadas dos matrices A y B de la misma dimensión m  n, la matriz suma, A + B, es la que se obtiene sumando los elementos que en cada una de ellas ocupan la misma posición. De forma abreviada: (aij) + (bij) = (aij + bij)

Suma EJEMPLO Recuerde: Si las matrices tienen diferente tamaño, no se pueden sumar o restar entre sí.

A – B = A + (– B) A + 0 = 0 + A A + (– A) = (– A) + A = 0 Suma y diferencia Propiedades de la suma de matrices: a) Conmutativa: A + B = B + A b) Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C c) Elemento neutro: La matriz nula del tamaño correspondiente. A + 0 = 0 + A d) Elemento opuesto de A: La matriz –A, que resulta de cambiar de signo a los elementos de A. A + (– A) = (– A) + A = 0 La existencia de elemento opuesto permite definir la matriz diferencia (resta), A – B. Es la que se obtiene al sumar A con – B: A – B = A + (– B) EJEMPLO

4.- Operaciones con matrices 4. 1. Suma y diferencia EJEMPLO Opuesta de una matriz Si 3  2 3  2 porque:

4.- Operaciones con matrices 4. 1. Suma y diferencia EJERCICIOS 1. Las exportaciones, en millones de euros, de 3 países A, B, C a otros tres X, Y, Z, en los años 2000 y 2001 vienen dadas por las matrices: A B C X Y Z X Y Z A B C Calcula y expresa en forma de matriz el total de exportaciones para el conjunto de los dos años. ¿Cuántos millones ha exportado el país B al Z en total? Calcula el incremento de las exportaciones del año 2000 al 2001. 2. Calcula x, y, z en la suma: 3. Calcula a, b, c para que se cumpla la igualdad:

Producto por un nº real Dada una matriz cualquiera A de dimensión mxn y un número real k, el producto k·A se realiza multiplicando todos los elementos de A por k, resultando otra matriz de igual dimensión. Nota: la misma regla sirve para dividir una matriz por un número real.

Producto por un nº real EJEMPLO

Producto por un nº real Propiedades: Distributiva respecto de la suma de matrices: k·(A + B) = k·A + k·B Distributiva respecto de la suma de números: (k + d)·A= k·A + d·A Asociativa: k·(d·A)=(k·d)·A Elemento neutro, el número 1: 1·A=A

4.- Operaciones con matrices 4. 2. Producto por un nº real EJERCICIOS 1. Si halla una matriz X que verifique la ecuación: 2·X – 4·A = B 2. Determina las matrices X e Y sabiendo que:

4.- Operaciones con matrices 4. 3. Producto de matrices Producto de una matriz fila por una matriz columna. Sea A una matriz fila y B una matriz columna: 1 x 3 3 x 1 Definimos el producto de la matriz A por la matriz B (en este orden): 2·1 + (−3)·2 + 1·5 = 2 − 6 + 5 = 1 1 x 3 3 x 1 Observa que el resultado es un número Hemos emparejado cada elemento de A con un elemento de B, luego el número de estos elementos (nº de columnas de A y nº de filas de B) debe coincidir para poder realizar este producto.

4.- Operaciones con matrices 4. 3. Producto de matrices Producto de una matriz fila por una matriz columna. Sea A una matriz fila y B una matriz columna: 1 x 3 3 x 1 Definimos el producto de la matriz A por la matriz B (en este orden): 2·1 + (−3)·2 + 1·5 = 2 − 6 + 5 = 1 1 x 3 3 x 1 Observa que el resultado es un número Hemos emparejado cada elemento de A con un elemento de B, luego el número de estos elementos (nº de columnas de A y nº de filas de B) debe coincidir para poder realizar este producto.

A · B = A·B Producto de matrices Dos matrices se pueden multiplicar cuando se cumple la siguiente condición: “El número de columnas de la matriz A es igual al número de filas de la matriz B” A · B = A·B m  n n  p m  p Es posible el producto Columnas Filas

Producto de matrices si A es una matriz m x n y B es una matriz n x p, entonces el producto A·B da como resultado una matriz C de tamaño n x p.

Producto de matrices PROCEDIMIENTO Los elemento de la matriz A·B, se obtiene multiplicando los elementos de la fila i de A por la columna j de B y sumando los resultados C1 F1

EJEMPLO Para multiplicar las matrices: 2  4 4  3 1º.- Comprobamos que se puede realizar el producto A·B, pues el nº de columnas de A es 4 y el nº de filas de B también es 4. 2º.- El resultado, según lo dicho será una matriz de dimensión 2 x 3, tiene 2 filas y 3 columnas: = 2  4 2  3 4  3 3º.- Sólo nos falta completar los elementos de la matriz producto. Para ello, seguimos la regla anterior:

4.- Operaciones con matrices 4. 3. Producto de matrices C1 16 F1 = 2  4 2  3 4  3 El elemento de la fila 1 y columna 1 de A·B proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 de A por la columna 1 de B y sumar, es decir: 1 2 3 F1 · C1 = (–3 2 1 4) · = (−3)·0 + 2·1 + 1·2 + 4·3 = 0 + 2 + 2 + 12 = 16

4.- Operaciones con matrices 4. 3. Producto de matrices C2 16 16 F1 = 2  4 2  3 4  3 El elemento de la fila 1 y columna 2 de A·B proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 de A y la columna 2 de B y sumar: −4 −2 2 F1·C2 = (–3 2 1 4) · = (−3)·(−4) + 2·(−2) + 1·0 + 4·2 = 12 − 4 + 0 + 8 = 16

4.- Operaciones con matrices 4. 3. Producto de matrices C3 F1 = 16 16 5 2  4 2  3 4  3 El elemento de la fila 1 y columna 3 de A·B proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 de A y la columna 3 de B y sumar: 1 2 F1·C3 = (–3 2 1 4) · = (−3)·1 + 2·1 + 1·2 + 4·1 = − 3 + 2 + 2 + 4 = 5

4.- Operaciones con matrices 4. 3. Producto de matrices Así sucesivamente se obtienen los demás elementos de la matriz producto: C1 16 16 5 = F2 5 2  4 2  3 4  3

4.- Operaciones con matrices 4. 3. Producto de matrices Así sucesivamente se obtienen los demás elementos de la matriz producto: C2 16 16 5 = F2 5 –22 2  4 2  3 4  3

B · A  4.- Operaciones con matrices C3 16 16 5 F2 5 –22 11 4. 3. Producto de matrices Así sucesivamente se obtienen los demás elementos de la matriz producto: C3 16 16 5 = F2 5 –22 11 2  4 2  3 4  3 Así la matriz producto es: B · A 4  3 2  4 Observa que el producto B·A no se puede hacer: 

4.- Operaciones con matrices 4. 3. Producto de matrices EJERCICIOS 1. Si calcula, si es posible, A·B y B·A. ¿Coinciden? 2. Lo mismo si 3. Calcula todos los productos posibles entre las matrices: Además, calcula A2 y A3.

4.- Operaciones con matrices 4. 3. Producto de matrices Propiedades del producto de matrices a) Asociativa: A·(B·C) = (A·B)·C b) Distributiva respecto de la suma: c) Elemento neutro: la matriz identidad correspondiente. Si A es m x n: d) En general el producto de matrices no es conmutativo Pueden verse ejemplos en los ejercicios anteriores. Ten cuidado con esta propiedad. e) El producto de dos matrices no nulas A y B puede dar lugar a una matriz nula: Se dice que el conjunto de las matrices con la operación producto tiene divisores de cero, es decir, hay matrices no nulas cuyo producto es nulo.

4.- Operaciones con matrices 4. 3. Producto de matrices EJERCICIOS 1. Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden, ¿son ciertas las propiedades siguientes, que son ciertas para las operaciones con números reales?: a) (A + B)2 = A2 + B2 + 2 · A · B b) (A − B)2 = A2 + B2 − 2 · A · B c) (A + B) · (A − B) = A2 − B2 2. Determina los valores de a y b de la matriz para que A2 = A. 3. ¿Qué matrices conmutan con la matriz ?