Clase 182 Parábola y recta

Relación de posición entre la parábola y la recta. e: exterior t: tangente F k s: secante V h x e

Ejercicio 1 Halla la ecuación de la parábola de vértice (– 1; 4) y foco (0; 4). Determina los puntos de intersección con la recta 2x – y + 6 = 0.

V(– 1; 4) F(0; 4) d(V; F) = p luego p = 1 (y – k)2 = 4p(x – h) (I) (y – 4)2 = 4 (x + 1) 2x – y + 6 = 0 Sustituyendo (II) en (I) (II) y = 2x + 6 (2x + 6 – 4)2 = 4 (x + 1) (2x + 2)2 = 4 (x + 1)

(2x + 2)2 = 4 (x + 1) 4x2 + 8x + 4 = 4x + 4 4x2 + 4x = 0 4x(x + 1) = 0 x1= 0 ó x2= – 1 Sust en (II) y = 2x + 6 y1 = 2(0) + 6 y2 = 2(– 1) + 6 y1 = 6 y2 = 4 Los puntos de intersección son: P1(0; 6) y P2 (– 1; 4)

Ejercicio 2 Determina para qué valores de k, la recta x – y + k = 0 y la parábola x2 + 2kx – 8y + 25 = 0 son: a) tangentes, b) secantes, c) la recta es exterior.

Aplicando el discriminante: D = b2 – 4ac r: x – y + k = 0 (I) a) x2 + 2kx – 8y + 25 = 0 (II) Despejando “y” en (I) y = x + k Sustituyendo en (II) resulta: x2 + 2kx – 8(x + k) + 25 = 0 x2 + 2kx – 8x – 8k + 25 = 0 x2 + (2k – 8)x – 8k + 25 = 0 Aplicando el discriminante: D = b2 – 4ac

x2 + (2k – 8)x – 8k + 25 = 0 D = (2k – 8)2 – 4( –8k + 25) = 4k2 – 32k + 64 + 32k – 100 = 4k2 – 36 Si D = 0 la recta es tangente a la circunferencia, si D >0 la recta es secante y si D< 0 es exterior. Es tangente para k = 3 ó k = – 3. 4k2 – 36 = 0 k2 = 9 k = 3

4k2 – 36 > 0 b) k2 > 9 k > |3| La recta es secante a la parábola para los valores de k > 3 ó k < – 3 4k2 – 36 < 0 c) k2 < 9 k < |3| Es exterior para – 3 < k < 3

Ejercicio 3 Encuentra la ecuación de la recta tangente a la parábola (y – 2)2 = – 8(x – 4) que tiene pendiente 2.

Ecuación de la tangente: y = 2x + n (1) (y – 2)2 = – 8(x – 4) m = 2 Ecuación de la tangente: y = 2x + n (2) Sustituyendo (2) en (1) tenemos: (2x + n – 2)2 = – 8(x – 4) (a+b+c)2= a2+ b2+ c2+ 2ab+ 2ac+ 2bc 4x2+n2+ 4 + 4nx –8x –4n = –8x+32 4x2 + 4nx + n2 – 4n – 28 = 0 c a b

La tangente tiene ecuación y = 2x – 7 D = b2 – 4ac = 16n2 – 16(n2 – 4n – 28) = 16n2 – 16n2 + 64n + 448 = 64n + 448 Para que la recta sea tangente se debe cumplir que: D = 0 La tangente tiene ecuación y = 2x – 7 64n + 448 = 0 64n = – 448 n = – 7

Para el estudio individual El gráfico representa una circunferencia tangente a los ejes coordenados. Si una parábola tiene vértice en su centro y el foco es el punto de tangencia con el eje x. Escribe la ecuación de ambas curvas. x y O 3