EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA REPRESENTACIÓN DE SEÑALES EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

Recordando la relación de Euler: FASORES ROTANTES Una señal periódica cosenoidal puede representarse mediante la parte real de un fasor rotante: A e j w o t F . Recordando la relación de Euler: A e j w o t F . cos sin ( Entonces: A cos w o t F . Re e j

Ejemplo 4: Fasor Rotante: Im t1 A Re w o A e . A cos . w o t 1 F j w o A cos . w o t 1 F Re

ESPECTROS DE AMPLITUD Y FASE UNILATERALES (sólo frecuencias positivas) Las ecuaciones anteriores muestran que una señal periódica cosenoidal está completamente definida si se conocen: A cos w o t F . La amplitud A La frecuencia o (o fo) La fase  Así que podemos representarla mediante dos gráficos en el dominio de la frecuencia, denominados espectros de amplitud y de fase o  amplitud A o  fase 

SEÑAL COSENOIDAL COMO SUMA DE DOS FASORES ROTANTES CONJUGADOS Una señal periódica cosenoidal también puede representarse mediante la suma de dos fasores rotantes, uno complejo conjugado del otro: A cos  o t  . A cos w o t F . 2 e j De hecho: A 2 e j w o t F . cos sin Sumando los términos del segundo miembro, se demuestra lo anterior.

ESPECTROS DE AMPLITUD Y FASE BILATERALES La representación de la señal cosenoidal mediante la suma de dos fasores rotantes conjugados, da origen a la representación espectral bilateral de amplitud y fase: amplitud fase A/2  - o - o o o   -  Una señal real siempre tiene un espectro de amplitud bilateral par y un espectro bilateral de fase impar

LA SERIE EXPONENCIAL DE FOURIER Una señal periódica, de período T, puede representarse mediante la serie de Fourier (en este caso exponencial): f t ( ) ¥ n F e j . w o = w o 2 p . T En donde: F n 1 T t o f ( ) e j . w d

Coeficientes de Fourier Fn Rampa: Representación de la rampa en el dominio del tiempo mediante seis términos de la serie de Fourier f t ( ) 2 n T . 1 nT < T=1 - < n <  Coeficientes de Fourier Fn Recordando que: Para las señales reales: e j n . w o t cos sin f t ( ) 2 F 1 sin p . 4 3 6 8 5 10 12  ... fF(t) t 1 2 3 -1 f(t) t 1 2 3 -1

Los coeficientes de Fourier y las correspondientes frecuencias no definen completamente la función f(t): su conocimiento equivale a conocer f(t). Los coeficientes de Fourier se representan mediante diagramas de amplitud y fase en función de la frecuencia, llamados ESPECTROS DE LÍNEAS 0.32 0.16 0.11 0.08 0.06 0.05 2 4 6 8 10 12 -2 -4 -6 -8 -10 -12 Fn  ESPECTRO BILATERAL DE AMPLITUD DE LA RAMPA [2(t-nT)-1] 2 4 6 8 10 12 -2 -4 -6 -8 -10 -12  Fn 90º -90º 180º -180º ESPECTRO BILATERAL DE FASE DE LA RAMPA [2(t-nT)-1]

ESPECTROS DE LÍNEAS DE SEÑALES PERIÓDICAS g(t) g t ( ) 5 6 sin 2 p . 3 2 4 6 -2 -4 -6 Fn  5 Fn = 0 para n  0 y n 

LA SERIE TRIGONOMÉTRICA DE FOURIER t o < T f t ( ) c o ¥ n cos w . F = w o 2 p . T c n 2 F . arg o

LA TRANSFORMADA DE FOURIER Es posible generalizar la serie de Fourier para señales aperiódicas, a pacto que sean señales de energía, es decir que su cuadrado sea integrable entre - y + f t ( ) 1 2 p . ¥  F w e j d f t ( ) F 1 w La función F() es la transformada de Fourier de f(t), la cual es continua en  para señales aperiódicas F w ( ) ¥ t f e j . d F w ( ) f t

EL ESPECTRO CONTINUO DE AMPLITUD La transformada de Fourier F() es una función compleja F w ( ) e j f . Se define como espectro de amplitud, el diagrama de  F(  )  en función de  Ejemplo: A 1/  -1/  + f  F( f )  3 1 t x ( ) -1 A  2  . F ( ) A sin  f t  2 < w ( ) A >

Cálculos relacionados con el ejemplo anterior: X f ( ) t - 2 A e j w × ó ô õ d æ ç è ö ÷ ø sin 1 p

EL ESPECTRO DE AMPLITUD DE LA FUNCIÓN IMPULSO UNITARIO e j w . t  V() 1 t0 t v(t)  V()

EL ESPECTRO DE AMPLITUD DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL COMPLEJA w . t 2 p . d w V() v(jt) 2 e j w . t compleja t 0 

EL ESPECTRO DE AMPLITUD DE LA FUNCIÓN CONSTANTE 2 p . A d w ( ) A v(t) V() A 2A t 

GENERALIZACIÓN DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER PARA FUNCIONES PERIÓDICAS 1 t ( ) A cos w o . F 1 w ( ) A p . d o A A A -o o 

PARES TRANSFORMADOS f at ( ) t n d ¥ 1 2 . p y F w 1 a F w . ( ) e 2 f n d ¥ 1 2 . p y F w PARES TRANSFORMADOS 1 a F w . ( ) e j t n 2 f

PROPIEDAD DE TRASLACIÓN EN FRECUENCIA ( ) e j w .  A f(t) F() A 0  F f t ( ) cos w . 1 2  A f(t) F() A/2 A/2 -0 0 

EL ESPECTRO DE DENSIDAD DE ENERGÍA La energía (normalizada a 1 ) asociada a las señales de duración finita es igual al área debajo de la función cuadrática de tensión o corriente. t f2(t) dt E ¥ t f 2 ( ) d dE f 2 t ( ) dt . Se demuestra (teorema de PARSEVAL) que la energía también es igual al área debajo del módulo cuadrático del espectro de amplitud F()= F{f(t)}. E() = F() 2 es la densidad espectral de energía o energía por Hz. F() 2 E() = E ¥ f F w ( ) 2 d dE F w ( ) 2 df . df f

Se define espectro de potencia W(f) (normalizado a 1 ) al término: EL ESPECTRO DE POTENCIA Las señales que tienen energía infinita como las periódicas estacionarias y que por el contrario tienen potencia finita, pueden caracterizarse mediante el espectro de potencia (W/Hz) P ¥ n F 2 = + cc2 Se puede demostrar que para una señal real periódica, la potencia (normalizada a 1 ) es la siguiente: Se define espectro de potencia W(f) (normalizado a 1 ) al término: W f ( ) E(f) 2 1/T P ¥ - f W ( ) ó ô õ d

PROBLEMAS

Problema 1: determine los coeficientes de Fourier de la onda cuadrada simétrica (-< n < +) 4 -4 V (t) seg t n T . t < 1 2 V ( ) A m F n ( ) 2 1 t e 1j . p d n par n impar 2j Los coeficientes del espectro bilateral de amplitud son la mitad de los coeficientes del espectro de frecuencias positivas, los cuales representan los valores pico de la componentes sinusoidales de la serie de Fourier trigonométrica =

Problema 2: Determine la transformada de Fourier de la señal 5 cos 2 p × 50 t ( ) 10 Solución F w ( ) ¥ - t 5 cos 2 p × 50 10 e j ó ô õ d + æ ç è ö ÷ ø 2.5 é ë ù û 60 40 [ ] Observe como el producto de dos sinusoides de frecuencias f1 y f2 da origen a componentes sinusoidales de frecuencias suma f1+f2 y diferencia f1-f2

Problema 3: æ ç è ö ÷ ø Determine la antitransformada de Fourier de F w ( ) 5 p × d 2 60 - 40 + [ ] Solución f t ( ) 2.5 ¥ - w d 2 p × 60 40 + [ ] e j ó ô õ cos 5 Recordando la identidad trigonométrica x y æ ç è ö ÷ ø se tiene: 10 50

Problema 4: Determine la serie de Fourier exponencial (bilateral) de una sucesión unipolar de pulsos de periodo T1 4 s 2 T1 ( BR ) duración del pulso t y X 5 V p T1 4

( ) Continuación problema 4 En general, la serie de Fourier (espectro de líneas bilateral) de un tren de pulsos de amplitud A y relación t T 1 entre duración del pulso y período T , está dada por una sucesión de sinusoides ubicadas en los puntos de frecuencia f n . La amplitud de las sinusoides es A × pesada por la función muestreo Sa p ( ) . La eventual componente continua se determina a sabiendas que F sin ¥ - < n entero Para el caso numérico planteado la representación gráfica del espectro de líneas es el siguiente: 2.5 2 1.5 0.5 0.25 0.75 1.25 CC m , Observe que el primer cero se produce para: o

Problema 5 Determine el espectro de potencia (normalizado) de la sucesión unipolar de pulsos de período T1 4 s ( f 1 , BR 2 ), duración del pulso t y A 5 V .

Continuación problema 5

Continuación problema 5