PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES Lic. SUJEY HERRERA RAMOS

¿Qué puedes decir de este diagrama?

Conjunto de los Números Naturales Números que utilizamos para contar N = {1,2,3,4,5,6,7,8, … } Los puntos suspensivos indican que los números continúan de esa forma, sin terminar nunca.

Conjunto de los Números Cardinales Se compone de los números naturales incluyendo al cero C = {0,1,2,3,4,5,6,7, … }

Conjunto de los Números Enteros Se compone de los números cardinales incluyendo a los números negativos Z = {…,-2,-1,0,1,2,3, … }

Conjunto de los Números Racionales Se compone de los números enteros incluyendo a todo los números que se expresan de la forma donde b ≠ 0 Ejemplos:

Conjunto de los Números Racionales Incluye fracciones que al convertirlos en decimales son finitos, periódicos…

Conjunto de los Números Irracionales Se expresan de la forma donde b ≠ 0, pero su decimal es infinito no periódico Ejemplos:

Conjunto de los Números Reales Es el conjunto que agrupa a todos los conjuntos anteriores: naturales, cardinales, enteros, racionales, irracionales Puede ser considerado un conjunto universal Veamos su representación

Resumen del conjunto de los Números Reales

Propiedades de los Números Reales Son postulados que no requieren demostración Forman un conjunto de reglas fundamentales para fácil manejo algebraico Si p, q, r son tres números reales cualesquiera y pertenecen al conjunto de los números reales veamos las propiedades:

p + q p q Clausura De la suma La suma de dos números reales es otro número real De la multiplicación p q El producto de dos números reales es otro número real

Elemento Identidad o Neutro De la suma p + 0 = p 0 + p = p El número 0 es el único elemento que conserva la identidad en la operación de suma De la multiplicación p  1 = p 1  p = p El número 1 es el único elemento que conserva la identidad en la operación de multiplicación

p + –p = 0 p  = 1 Elemento Inverso De la multiplicación De la suma Para todo número p (excepto 0) existe un número llamado inverso multiplicativo (recíproco) que genera su elemento identidad De la suma p + –p = 0 Para todo número p existe un número –p llamado inverso aditivo (opuesto) que genera su elemento identidad

Esto no aplica en la resta ni en la división. Asociativa De la multiplicación (p q) r = p (q r) De la suma (p + q) + r = p + (q + r) En ambos casos la forma en que se agrupan no alteran el resultado final ni en la suma ni en la multiplicación. Esto no aplica en la resta ni en la división.

p q = q p p + q = q + p Conmutativa De la multiplicación p q = q p De la suma p + q = q + p En la suma y en la multiplicación el orden no altera el resultado. Esto no aplica en la resta ni en la división.

p(q + r) = pq + pr (q + r)p = qp + rp Distributiva De la suma p(q + r) = pq + pr (q + r)p = qp + rp Aquí la multiplicación distribuye a la suma y puede extenderse a varios números dentro del paréntesis

Ejercicios Indica a cuál o cuáles de los siguientes conjuntos pertenecen los números de la izquierda de la tabla con una marca de cotejo: Número/Conjunto numérico   Natural Cardinal Entero Racional Irracional Real 11 -7 ¾ 0.272727… 7.25 2.7985413… 1½            

Identifica la propiedad en cada enunciado: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 7 + 5 = 5 + 7 3 + (5 + 2) = 3 + (2 + 5) (6  3) 1 = 6 (3  1) 5(3 + 2) = 5(3) + 5(2) 7  1 = 7 11 + 0 = 11 9 + -9 = 0 2  ½ = 1

Ejercicios 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15)

Completa lo que falta para demostrar la propiedad previa: