INECUACIONES

SOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN O DESIGUALDAD. EJEMPLO: 6x – 10 > 3x + 5 Pasamos los términos semejantes de un lado: 6x – 3x > 5 + 10 Reduciendo términos queda: 3x > 15 Despejando x: x > 15/3 Haciendo la división obtenemos: x > 5 El intervalo de solución es (5, ∞)

Resolver la inecuación Resolver la inecuación Multiplíquese por 15 cada miembro Réstese 15x de cada miembro: Réstese 30 de cada miembro: Divídase entre -10 cada miembro (6 + x)÷ 3 < (5x - 7)÷ 5 30 + 5x < 15x -21 30 + 5x -15x < 15x -21 -15x 30 -10x -30 < -21 -30 (-10x)÷-10 > (-51)÷-10 (6 + x)÷ 3 < (5x - 7)÷ 5 30 + 5x < 15x -21 30 + 5x - -10x -30 < -21 -30 (-10x)÷-10 > (-51)÷-10 Resolver la inecuación Multiplíquese por 15 (el común denominador de los divisores 3 y 5) cada miembro Réstese 15x de cada miembro: Réstese 30 de cada miembro: Divídase entre -10 cada miembro Finalmente (6 + x)÷ 3 < (5x - 7)÷ 5 30 + 5x < 15x -21 30 + 5x -15x < 15x -21 -15x 30 -10x -30 < -21 -30 (-10x)÷(-10 )> (-51)÷(-10 ) x > 5.1

INECUACIONES SIMULTANEAS Son inecuaciones que tienen soluciones comunes. Ejemplo: ¿Para qué valores de x se verifican simultáneamente las inecuaciones 10x-15 < 0 y 5x > 3? Resolviendo las inecuaciones, la primera se cumple para x < 3/2, y la segunda, para x >(3/5); por consiguiente, los valores mayores que 3/5 y menores que 3/2, verifican simultáneamente ambas inecuaciones. Este resultado se escribe así: 3/5 < x < 3/2

INECUACIONES CUADRATICAS EJEMPLO: Resolver la desigualdad x2 – 5x – 6 > 0 SOLUCION: Se factoriza el trinomio (x – 6)(x + 1) > 0 Se buscan los valores que hacen cero el producto. En este caso son 6 y -1, con estos valores se determinan los intervalos: (- ∞, -1), (-1, 6), (6, ∞) Después se comprueba, sustituyendo un valor de cada intervalo en los factores, para determinar los signos de estos. Posteriormente se aplica la ley de los signos para el producto tomando como solución el intervalo o los intervalos que cumplen con la desigualdad.

-Para el intervalo (- ∞, -1) Se toma, por ejemplo, el valor de x = -4 y se sustituye en cada factor. (-4-6)(-4+1) = (-10)(-3) = 30 el producto es positivo -Para el intervalo (-1, 6) Se toma un valor como el de x = 0 y se sustituye en los factores (0-6)(0+1) = (-6)(1) = -6 el producto es negativo -Para el intervalo (6, ∞) Se toma el valor de x, como x = 7 y se sustituye en cada factor (7-6)(7+1) = (1)(8) = 8 Los intervalos solución son aquellos en los cuales el producto es positivo, es decir, (- ∞, -1)  (6, ∞)

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO El valor absoluto de un numero real x denotado por |x| se define por: x si x > 0 |x|= -x si x < 0 0 si x = 0 Ejemplos : |5| = 5 |-7| = - (-7) = 7 | - 1 / 9| = -(- 1 / 9) = 1 / 9 |0.98 | = 0.98 | 0 | = 0 Si x es un numero real y a > 0, entonces: |x| < a ↔ -a < x < a |x| > a ↔ x > a ó x < -a

Otra forma de ver el valor absoluto |x| ≤ a ↔ -a ≤ x ≤ a |x| ≥ a ↔ x ≥ a o x ≤ -a Ejemplos: Resolver |x| = 7 Por la definición de valor absoluto, tenemos: x = 7 o x = -7 Resolver |2x + 8| = 5 2x + 8 = 5 ó 2x + 8 = -5 2x = 5 – 8 ó 2x = - 8 – 5 2x = - 3 ó 2x = - 13 x = - 3 / 2 ó x = -13 / 2 Resolver |x - 10| = - 3 Como el valor absoluto nunca es negativo, esta ecuación no tiene solución.