MODELOS DE HETEROCEDASTICIDAD CONDICIONAL Dr. Luís Miguel Galindo

“I was interestedin measuring the response of economic agents to uncertainty using time series data, bat recognized that if the variance was constant, the response was unidentified”. Robert. F. Engle (1995)

Características de las series económicas: Tienen tendencia. INTRODUCCIÓN: Características de las series económicas: Tienen tendencia. Tienen persistencia. Muestran variabilidad en el tiempo. Existen datos extremos asociados. Dr. Galindo

Características de las series financieras: INTRODUCCIÓN: Características de las series financieras: Son leptokurticas (achatadas y con colas más gordas) Las relaciones entre ganancia y riesgo no son lineales La volatilidad aparece en clusters Leverage effect: la volatilidad es mayor con una caída de la variable Dr. Galindo

Volatilidad histórica se estima con la varianza INTRODUCCIÓN: Forward looking behaviour requiere pronosticar adecuadamente la volatilidad y el riesgo de un activo La volatilidad no es una serie observable en el momento t, se requieren datos históricos para estimar la volatilidad Volatilidad histórica se estima con la varianza Dr. Galindo

Una opción para estimar la volatilidad histórica es: INTRODUCCIÓN: Una opción para estimar la volatilidad histórica es: Exponantiall y Weigted Moving Average Models (EWMA) que es una extensión del promedio histórico pero haciendo que las observaciones más recientes tengan un mayor peso Dr. Galindo

INTRODUCCIÓN: Pronósticos ARMA: Dr. Galindo

Características de la volatilidad de los activos financieros: INTRODUCCIÓN: Características de la volatilidad de los activos financieros: La volatilidad viene en clusters La volatilidad cambia en el tiempo La volatilidad no crece sin cota y se mantiene dentro de ciertos rangos La volatilidad reacciona asimétricamente a un aumento o disminución del precio Dr. Galindo

HISTORIA: Engle R. en LSE en 1979: la respuesta de los agentes económicos al riesgo El riesgo de un activo se puede igualar a su varianza y la ganancia esperada depende de ese nivel de riesgo (ARCH-M) Respuesta: la función de maximaverosimilitud puede descomponerse en sus densidades condicionales Dr. Galindo

HISTORIA: ARCH  AR aunque parece más un MA ya que la varianza condicional es un MA de los residuales al cuadrado GARCH  ARMA EGARCH incluye el log de la varianza condicional para flexibilizar la estimación y permitir efectos asimétricos Dr. Galindo

La media condicional de yt: (2) SINTESIS GENERAL: AR(1): (1) La media condicional de yt: (2) Dr. Galindo

La varianza condicional de yt (3) SINTESIS GENERAL: La media condicional cambia en el tiempo (la media no condicional no cambia) La varianza condicional de yt (3) Dr. Galindo

Engle (1982) propone el siguiente modelo del término de error: SINTESIS GENERAL: Engle (1982) propone el siguiente modelo del término de error: (4) Dr. Galindo

La media no condicional de et: SINTESIS GENERAL: La media no condicional de et: (5) Dr. Galindo

La varianza no condicional de et: SINTESIS GENERAL: La varianza no condicional de et: (6) Dr. Galindo

La media condicional de et: SINTESIS GENERAL: La media condicional de et: (7) Dr. Galindo

La varianza condicional et: SINTESIS GENERAL: La varianza condicional et: (8) Dr. Galindo

MODELO GENERAL: Modelo general: incluye una variable independiente que ayuda a predecir la volatilidad (1) Dr. Galindo

Con xt constante  yt es ruido blanco con varianza constante MODELO GENERAL: Con xt constante  yt es ruido blanco con varianza constante Con xt variable  la varianza condicional de yt+1es: La autocorrelación de xt permite explicar periodos de volatilidad en la secuencia de yt El cuadrado de la serie (después de eliminar autocorrelación) tiene patrones de autocorrelación Dr. Galindo

VARIANZA CONDICIONAL E INCONDICIONAL (PRONÓSTICO) (1) Dr. Galindo

VARIANZA CONDICIONAL E INCONDICIONAL (PRONÓSTICO) (1) El pronóstico un paso adelante: Media condicional de: (1.1) Dr. Galindo

VARIANZA CONDICIONAL E INCONDICIONAL (PRONÓSTICO) Media no condicional: (1.2)  Las mejoras en los pronósticos provienen de utilizar modelos con media condicional (Engle, 1982) Dr. Galindo

VARIANZA CONDICIONAL E INCONDICIONAL (PRONÓSTICO) Varianza no condicional: (2.1) Dr. Galindo

VARIANZA CONDICIONAL E INCONDICIONAL (PRONÓSTICO) Aprovechando que Entonces: (2.1) Dr. Galindo

VARIANZA CONDICIONAL E INCONDICIONAL (PRONÓSTICO) (3.1) Manteniendo fijo a yt-1 la única fuente de variación es Dr. Galindo

VARIANZA CONDICIONAL E INCONDICIONAL (PRONÓSTICO) ARCH: (4) (4.1) (4.2) Dr. Galindo

Para asegurarse que ht es positivo: MODELO GENERAL AR(1): (5.1) (5.2) Para asegurarse que ht es positivo: Dr. Galindo

La varianza condicional : MODELO GENERAL La varianza condicional : (6.1) Dr. Galindo

MODELO GENERAL (6.2) La varianza condicional de una variable et distribuida normalmente con media cero es igual al valor esperado del cuadrado de et Dr. Galindo

MODELO GENERAL la autocorrelación de la volatilidad se obtiene permitiendo que la varianza condicional del término de error dependa del calor anterior (7) Dr. Galindo

Modelo general: ARCH (q): (8.1) (8.2) Dr. Galindo

Posible rescribirlo como: (8.4) MODELO GENERAL Extensión: (8.3) Posible rescribirlo como: (8.4) Dr. Galindo

MODELO GENERAL (9.1) (9.2) (9.3) Dr. Galindo

Los et tienen media cero La varianza condicional esta dada por PROPIEDADES DEL ARCH Los et tienen media cero La varianza condicional esta dada por La varianza no condicional es: Las autocovarianzas son iguales a cero Dr. Galindo

PROPIEDADES DEL ARCH (10.1) (10.2) Dr. Galindo

PROPIEDADES DEL ARCH (10.3) (10.4) Dr. Galindo

PROPIEDADES DEL ARCH (10.5) (10.6) Dr. Galindo

 La varianza condicional depende de et-1 PROPIEDADES DEL ARCH La media y la varianza no condicional no se ven afectadas por la varianza condicional  La varianza condicional depende de et-1 Dr. Galindo

2. es siempre no-negativo MODELO GENERAL: Para que la varianza sea positiva se imponen las siguientes restricciones: 1. 2. es siempre no-negativo  el incremento de hace que la varianza de yt aumente Dr. Galindo

3.  proceso estacionario MODELO GENERAL: 3.  proceso estacionario 4. para un cuarto momento finito (Ángel, 1982 Teorema 1) Dr. Galindo

1.La selección del número de rezagos (q) MODELO GENERAL: 1.La selección del número de rezagos (q) Forma simple: Arbitraity lineaty declining lag leagth 2.Las restricciones negativas no se corrigen Dr. Galindo

y de la varianza pronosticada previa Bollersler (1986): El GARCH permite que la varianza condicional dependa de sus propios rezagos (11) Es posible interpretar a la varianza pronosticada actual (ht) como una función ponderada del valor promedio (α0), de la volatilidad del periodo previo y de la varianza pronosticada previa Dr. Galindo

Bollersler (1986): El término de error es: (11.1) Dr. Galindo

En la práctica GARCH(1,1): (12.1) Despejando: (12.2) Dr. Galindo

IGARCH:  efecto persistente La varianza actual depende de todas las perturbaciones anteriores elevadas al cuadrado IGARCH:  efecto persistente Dr. Galindo

El modelo GARCH puede interpretarse como un ARMA: (13.1) (13.2) Substituyendo en la varianza condicional: Dr. Galindo

GARCH: (13.3) Reordenando: (13.4)  ARMA(1,1) Dr. Galindo

El GARCH (1,1) es un modelo parsimonioso: (14.1) (14.2) (14.3) Dr. Galindo

GARCH: Sustituyendo en (14.1): (14.4) (14.5) Dr. Galindo

GARCH: Substituyendo a : (14.6) Reordenando: (14.7) Dr. Galindo

Substituciones recursivas: (14.8) GARCH: Substituciones recursivas: (14.8)  (14.9) Dr. Galindo

Con  unit root variance GARCH: (15) Con  unit root variance IGARCH Dr. Galindo

xt =ARMA o variable exógenas αt es la varianza condicional de et GARCH: (15.1) (15.2) xt =ARMA o variable exógenas αt es la varianza condicional de et El proceso GARCH (ecuación (15.2) es la varianza condicional de la ecuación de la media Dr. Galindo

no es la varianza condicional directamente (15.3) GARCH: no es la varianza condicional directamente (15.3) (15.4) Dr. Galindo

PROPIEDADES DEL GARCH: (15.5) Media de et: (15.6) Dr. Galindo

PROPIEDADES DEL GARCH: Varianza de et: (15.7) Varianza no condicional (15.8) Dr. Galindo

PROPIEDADES DEL GARCH: Como: (15.9) (15.10) La varianza condicional: (15.11)  La varianza condicional no es constante Dr. Galindo

PRUEBAS ARCH - GARCH: Prueba de normalidad: (16.1) (16.2) et es difícil que se distribuya como normal es probablemente leptokurtica de (16.1): (16.3) Dr. Galindo

PRUEBAS ARCH - GARCH: Es común que sea leotokurtica aunque menos que et  El GARCH captura parte de este efecto Las estimaciones serán consistentes si las ecuaciones están correctamente especificadas Sin embargo se requieren las desviaciones estándar calculadas por Balleislew y Wooldridg (1991) con quasi – maximain likelihoot (QML), algunos programas aceptan una distribución t en el GARCH (Enders) Dr. Galindo

1.Calcula la varianza muestral de los residuales de: PRUEBAS ARCH - GARCH: El ARCH esta modelado como una función de los errores al cuadrado rezagados (17.1) Correlograma: 1.Calcula la varianza muestral de los residuales de: (17.2) Dr. Galindo

2.Calcula las correlaciones muéstrales del cuadrado de los residuales: PRUEBAS ARCH - GARCH: 2.Calcula las correlaciones muéstrales del cuadrado de los residuales: (17.3) Dr. Galindo

Rechazo de H0 implica rechazar que no existe ARCH o GARCH PRUEBAS ARCH - GARCH: 3.Calcular LB: (17.4) Rechazo de H0 implica rechazar que no existe ARCH o GARCH Dr. Galindo

PRUEBAS ARCH - GARCH: LM para ARCH: H0: Pasos: 1.Estimar 2.Obtener las et de OLS 3.Regrasión Auxiliar: Dr. Galindo

PRUEBAS ARCH - GARCH: 4. 5.Versión f: f(q,T-q-1) ρ=1 q=1 GARCH(ρ,q) Dr. Galindo

ARCH – M – GARCH – M: Engle, Lilien y Robins (1987) incluyeron dentro del ARCH la Posibilidad de que la varianza condicional afecta a la media La hipótesis es que los inversionistas que son adversos al riesgo requieren compensación por tener un activo riesgoso Dr. Galindo

Se forma mayor riesgo y se espera una mayor ganancia ARCH – M – GARCH – M: Se forma mayor riesgo y se espera una mayor ganancia La ganancia esta, en parte, determinada por riesgo La varianza condicional se incluye en la ecuación de la media condicional Dr. Galindo

μt = risk premium necesario para inducir la tendencia del activo ARCH – M – GARCH – M: ARCH-M: (18) yt = exceso de ganacias μt = risk premium necesario para inducir la tendencia del activo et = error Dr. Galindo

El exceso de ganancias equivale al risk premium: (18.1) ARCH – M – GARCH – M: El exceso de ganancias equivale al risk premium: (18.1) El risk premium es una función creciente de la varianza condicional de et Dr. Galindo

ARCH – M – GARCH – M: El risk premium con ht definida como la varianza condicional de et se expresa como: (18.2) ARCH(q): (18.3) Dr. Galindo

ARCH – M – GARCH – M: GARCH – M: (18.4) (18.5) δ = risk premium Dr. Galindo

Posible utilizar en (18.4): 1. 2. 3. ARCH – M – GARCH – M: con δ>0  Un aumento del riesgo dado por un aumento de la varianza condicional conduce a una umento de la media Posible utilizar en (18.4): 1. 2. 3. Dr. Galindo

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