Estadística Descriptiva: 4. Correlación y Regresión Lineal

Estadística Descriptiva: 4. Correlación y Regresión Lineal
Ricardo Ñanculef Alegría Universidad Técnica Federico Santa María

Estadística Descriptiva Objetivo
Obtener información desde una muestra, que permita entender o formular hipótesis acerca del fenómeno que se estudia. Tipos de Análisis: Describir cómo se comporta una variable Describir cómo una variable (digamos explicativa) afecta el comportamiento de a otra (digamos dependiente) Describir cómo interaccionan varias variables

Estadística Descriptiva Correlación en Análisis Bivariado
Correlación: Medida cuantitativa del grado de asociación entre dos variables X e Y continuas Idea: Si X e Y están correlacionadas un cambio en X se corresponde con un cambio en Y y viceversa. Si un incremento en X genera un incremento en Y diremos que las variables están correlacionadas positivamente. En caso contrario diremos que están correlacionadas negativamente.

Ejemplo: Columna del New York Times

Covarianza: La idea es medir los cambios con respecto al nivel medio de cada variable Claramente generaliza la varianza: cov(x,x) Problema: la medida depende de las magnitudes absolutas de x e y. Una mayor covarianza no significa mayor asociación

Coeficiente de Correlación de Pearson: La idea es normalizar la covarianza con una medida de dispersión para X y para Y Medida acotada entre -1 y 1 (probarlo! se sigue de la desigualdad de Cauchy-Schwarz para productos puntos)

Observación: Si x e y tienen una relación lineal exacta la correlación de Pearson es igual al signo de a

Correlación positiva (Pearson)

Correlación negativa (Pearson)

Correlación nula (Pearson)

Limitaciones del Coeficiente de Pearson

Estadística Descriptiva Regresión
Modelo de una variable y como función de otra x x se denomina la variable independiente y se denomina la variable dependiente ε es el residuo, la parte que no logra ser explicada por el modelo (f será usualmente una función determinista)

Modelo de una variable y como función de otra x A partir de una muestra de valores de x e y, queremos encontrar un modelo apropiado. Qué tipo de función f utilizar? Cómo seleccionar un modelo adecuado en base a la muestra de observaciones?

¿Qué función f utilizar?: Una función periódica?

¿Qué función f utilizar? un polinomio?

¿Qué función f utilizar? una exponencial?

¿Qué función f utilizar? una logística?

Graficar la muestra de valores (x,y) y estudiar la forma de la posible relación

Estadística Descriptiva Regresión Lineal
Una alternativa simple consiste en modelar y como función lineal de x, es decir

¿Qué parámetros b0 y b1 son apropiados para modelar la relación entre x e y? Supongamos que hemos conseguido una muestra de n pares de valores x e y:

Ejemplo: ¿El financiamiento entregado a la autoridad Palestina contribuye a mitigar el conflicto en la región?

Variables: X: financiamiento entregado a la autoridad palestina. Y: número de homicidios el año siguiente. Muestra: Si medimos x e y en los últimos años tenemos: X Y 1999 75 2000 50 250 2001 450 500 2002 375 275 2003 190 210 2004 300 240 2005 290 2006 610 600

Graficando X versus Y

Graficando X e Y en cada año

Variables: X: financiamiento entregado a la autoridad palestina. Y: número de homicidios el año siguiente. Modelo: Postulamos un modelo lineal

Ajustar el modelo lineal consiste en buscar parámetros b0 y b1 que hagan el modelo adecuado Cada combinación de parámetros genera una predicción para el valor de y asociado a x

b0 = 10 y b1 = 1 X Y f(X) Y-f(X) 1999 75 10 65 2000 50 250 60 190 2001 450 500 460 40 2002 375 275 385 - 110 2003 210 200 2004 300 240 310 -70 2005 290 2006 610 600 620 -20

b0 = 50 y b1 = 0.5 X Y f(X) Y-f(X) Anterior 1999 75 50 25 65 - 2000 250 175 190 2001 450 500 275 225 40 + 2002 375 237 38 - 110 2003 210 145 10 2004 300 240 200 -70 2005 290 195 85 2006 610 600 355 245 -20

b0 = 50 y b1 = 0.75 X Y f(X) Y-f(X) Anterior 1999 75 50 25 - 2000 250 87.5 162 175 2001 450 500 387.5 112 225 2002 375 275 331.25 -56.25 38 + 2003 190 210 192.5 17.5 65 2004 300 240 -35 40 2005 290 267 107.5 85 2006 610 600 507.5 92.5 245

Lo que necesitamos es definir una función de error y encontrar los parámetros b0 y b1 que la minimizan Propuesta: minimizar error cuadrático,

Dada la muestra de observaciones buscamos el modelo que minimiza el error promedio

Si los paramétros b0 y b1 minimizan Se debe verificar

Ecuaciones normales: derivando

Ecuaciones normales: reordenando y dividiendo por n

Despejando b0 en la primera y reemplazando en la segunda

Estimadores de Mínimos Cuadrados del Modelo Lineal para Y en función de X

En nuestro ejemplo anterior, variables: X: financiamiento entregado a la autoridad palestina. Y: número de homicidios el año siguiente. Muestra X Y 1999 75 2000 50 250 2001 450 500 2002 375 275 2003 190 210 2004 300 240 2005 290 2006 610 600

Calculamos la varianza de la variable predictora y la covarianza entre las variables x e y X Y 1999 75 80160 2000 50 250 54350 2001 450 500 27850 2002 375 275 91.875 8440 2003 190 210 8670 2004 300 240 16.875 280 2005 290 6.875 59.375 2006 610 600 10685

Tenemos entonces que X Y 1999 75 2000 50 250 2001 450 500 2002 375 275 2003 190 210 2004 300 240 2005 290 2006 610 600

Predicciones de nuestro modelo X Y f(x) 1999 75 2000 50 250 2001 450 500 2002 375 275 2003 190 210 2004 300 240 2005 290 2006 610 600

Predicciones de nuestro modelo (magenta)

¿Cómo juzgar cuantitativamente qué tan bueno es el modelo?: Análisis de Varianza. variabilidad total de Y variabilidad explicada por el modelo variabilidad NO explicada por el modelo

¿Cómo juzgar cuantitativamente qué tan bueno es el modelo?: Análisis de Varianza. variabilidad explicada por el modelo

¿Cómo juzgar cuantitativamente qué tan bueno es el modelo?: Análisis de Varianza. variabilidad total de Y variabilidad NO explicada por el modelo variabilidad explicada por el modelo

Coeficiente de Determinación: Fracción de la variabilidad que sí es explicada por el modelo lineal variabilidad explicada por el modelo variabilidad total de Y variabilidad explicada variabilidad explicada + variabilidad NO explicada

Coeficiente de Determinación: Fracción de la variabilidad que sí es explicada por el modelo lineal

Coeficiente de Determinación: Fracción de la variabilidad que sí es explicada por el modelo lineal Coeficiente de correlación de Pearson!!

Transformaciones Cómo ajustar un modelo lineal sobre estas observaciones?

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