Taller Lógica Modal - Eduardo Barrio GAF - Grupo de Acción Filosófica Segundo Cuatrimestre de 2008

p q q p L(p q ) (Lp Lq) p q L(p q ) (Lp Lq) p q q p w0 w1 w2 w3 Un modelo es una estructura E (Lp, w 0 ): 1 ssi E le asigna 1 a p en w 0 y en todo mundo accesible desde w 0. E (Mp, w 0 ): 1 ssi E le asigna 1 a p en w 0 y en algún mundo accesible desde w 0. es válida universalmente ssi es verdadera en todo mundo de toda estructura

p p p p Mp p p Mp p p p p w0 w1 w2 w3 Modelo Relación de Accesibilidad entre mundos: Reflexividad: w Rww Transitividad: w x y (Rwx Rxy Rwy) Simetría w x (Rwx Rxw)

Reflexividad: x Rxx Simetría: x y (Rxy Ryx) Transitividad: x y z ((Rxy Ryz) Rxz) Lineal: x y z ((Rxy Ryz) (Ryz v y z v Rzy)) Serial: x y Rxy Funcional x y (Rxy z (Rxz y z)) Euclidea x y z ((Rxy Rxz) Ryz) Determinista: x y z ((Rxy Ryz) y z) Propiedades de las relaciones binarias Las propiedades impuestas sobre las relaciones de accesibilidad definen familias de estructuras. Reflexividad: Lp p (T) Simetría: p LMp(B) Transitividad: Lp LLp(S4) Lineal: Serial: Lp Mp (D) Fucional: Lp Mp Euclidea: Lp LMp(S5) Determinista: Mp Lp

Todos los mundos son accesibles desde sí mismos Modelo T El número de elementos en W (el número de mundos) puede ser infinito. W, R V T La relación de accesibilidad es: reflexiva Axiomas de T (A4) LA A (reflexividad) (A5) L(A B) (LA LB) p r r p p ¬r ¬q Regla de Necesariedad: Si es teorema, L es teorema w0 w1 w2

Modelo S4 El número de elementos en W (el número de mundos) puede ser infinito S4 tiene leyes de reducción - La relación de accesibilidad es: reflexiva y transitiva. Axiomas de S4 (A1) (B (A B))(A2) (A (B C)) ((A B) (A C)) (A3) (( B A) (( B A) A)) (A4) LA A (A5) L(A B) (LA LB) (A6) LA LLA (Transitividad) p pp p p w0 w1 w2 w3 w4

Todos los elementos del conjunto W están relacionados con todos. La relación de accesibilidad es una relación de equivalencia. Modelo S5 El número de elementos en W (el número de mundos) puede ser infinito. S5 tiene leyes de reducción La relación de accesibilidad es: reflexiva, simétrica y transitiva. Axiomas de S5 (A1) (B (A B))(A2) (A (B C)) ((A B) (A C)) (A3) (( B A) (( B A) A)) (A4) LA A (A5) L(A B) (LA LB) (A6) LA LLA (A7) MA LMA q q q w0 w1 w2

Todos los elementos del conjunto W están relacionados con todos. La relación de accesibilidad es una relación de equivalencia. Modelo S5 El número de elementos en W (el número de mundos) puede ser infinito. S5 tiene leyes de reducción La relación de accesibilidad es: reflexiva, simétrica y transitiva. Axiomas de S5 (A1) (B (A B))(A2) (A (B C)) ((A B) (A C)) (A3) (( B A) (( B A) A)) (A4) LA A (A5) L(A B) (LA LB) (A6) LA LLA (A7) MA LMA q q Una es válida-S5 En todos los modelos-S5 W,R,V S5, V (, w 1 ) 1 para todo w 1 W Para cualquier variable proposicional p y cualquier mundo w W, o bien V (p, w) 1 o bien V (p, w) 0 V, w 1 1 si V, w 1 0 V ( ), w 1 1 si V, w 1 1 o V, w 1 1 V L, w 1 1 si w 2, tal que w 1 R w 2 V, w 2 1