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Ayudantía Nº 4 Algebra I fmm010 Carola Muñoz R. 1
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Propiedades de las relaciones ¿Cuáles de las relaciones en son reflexivas? R 1 = {(x,y)|x = y} ( -1, -1) ( 0, 0 ) ( 1, 1 ) R R 2 = {(x,y)|x y} ( -1,-1) ( 0, 0 ) ( 2, 2 ) R R 3 = {(x,y)| x es múltiplo de y } x = y x = k y, si k = 1 entonces x = y ( -1,-1 ) ( 0, 0 ) ( 2, 2 ) R
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Propiedades de las relaciones ¿Cuáles de las relaciones en son reflexivas? R 4 = {(x,y )| (x = y) (x = y) } ( -1,-1) ( 0, 0 ) ( 2, 2 ) R R 5 = {(x,y)|x = y + 1} ( -1,-1 ) ( 0, 0 ) ( 2, 2 ) R R 6 = {(x,y)|x + y ≥ 5} x ≠ y Solo se cumple con x e y > 3 ( -1,-1 ) ( 0, 0 ) ( 2, 2 ) R
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Propiedades de las relaciones ¿Cuáles de las relaciones en son reflexivas? R 7 = {(x,y )| z (x y= 2z) } R 8 = {(x,y)| n (x – y = 5n)} R 9 = {(x,y)| z [(x + y)*z = 0]} Cuando x = y, la resta es igual a 0, 0 ( -1,-1 ) ( 0, 0 ) ( 2, 2 ) R Solo se cumple con x = y = par ( -1,-1 ) ( 0, 0 ) ( 2, 2 ) R ( -1,-1 ) ( 0, 0 ) ( 2, 2 ) R Solo se cumple con x = y z = 0
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Propiedades de las relaciones ¿Cuáles de las relaciones en son simétricas? R 1 = {(x,y)|x = y} S R 2 = {(x,y)|x y} S R 3 = {(x,y)| x es múltiplo de y } x y y x x = k y / k y = x/k x = k y y k x x = y y = x S 6 múltiplo de 3 y 3 no múltiplo de 6.
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Propiedades de las relaciones ¿Cuáles de las relaciones en son simétricas? R 4 = {(x,y )| (x = y) (x = y) } R 5 = {(x,y)|x = y + 1} R 6 = {(x,y)|x + y ≥ 5} S x = y y = x x = y / 1 y = x S x = y + 1 / 1 x – 1 = y x = y + 1 y x + 1 S x + y = y + x x + y 5 y + x 5
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Propiedades de las relaciones ¿Cuáles de las relaciones en son simétricas? R 7 = {(x,y )| z (x y= 2z) } R 8 = {(x,y)| n (x – y = 5n)} R 9 = {(x,y)| z [(x + y)*z = 0]} S x + y = y + x, entonces (x + y)z = 0 (y + x)z = 0 x y = y x, entonces x y = 2z y x = 2z S S x y = 5n, y – x = 5n
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Propiedades de las relaciones ¿Cuáles de las relaciones en son antisimétricas? R 1 = {(x,y)|x = y} R 2 = {(x,y)|x y} R 3 = {(x,y)| x es múltiplo de y } x = y - 5 = (-1) 5, 5 = (-1) -5 ( -5,5 ) R 3, ( 5,-5 ) R 3, y -5 5 Esta relación es antisimétrica ya que para todo ( x, y ) existe un ( y, x ), donde x = y A A A
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Propiedades de las relaciones ¿Cuáles de las relaciones en son antisimétricas? R 4 = {(x,y )| (x = y) (x = y) } R 5 = {(x,y)|x = y + 1} R 6 = {(x,y)|x + y ≥ 5} x = y / 1 y = x (3,-3), (-3,3) y 3 -3, es decir siempre x y x = y + 1 / 1 x – 1 = y x = y + 1 y x + 1 S x + y = y + x pero x y A A A
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Propiedades de las relaciones ¿Cuáles de las relaciones en son antisimétricas? R 7 = {(x,y )| z (x y= 2z) } R 8 = {(x,y)| n (x – y = 5n)} R 9 = {(x,y)| z [(x + y)*z = 0]} x + y = y + x, pero no siempre x = y x y = y x, pero no siempre x = y (20, 5) R 8, (5, 20) R 8, y 20 5 x y = y x, pero no siempre x = y A A A
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Propiedades de las relaciones ¿Cuáles de las relaciones en son transitivas? R 1 = {(x,y)|x = y} R 2 = {(x,y)|x y} R 3 = {(x,y)| x es múltiplo de y } x = y, y = z x + y = y + z x = z T x y, y z x + y y + z x z T x = k 1 y, y = k 2 z x =k 1 k 2 z x = kz T
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Propiedades de las relaciones ¿Cuáles de las relaciones en son transitivas? R 4 = {(x,y )| (x = y) (x = y) } R 5 = {(x,y)|x = y + 1} R 6 = {(x,y)|x + y ≥ 5} T T x = y, y = z x + y = y + z x = z x = y + 1, y = z + 1 x + y = y + 1 + z +1 x = z + 2 x z + 1 x + y 5, y + z 5 x + z 10 – 2y x + z 5 T
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Propiedades de las relaciones ¿Cuáles de las relaciones en son transitivas? R 7 = {(x,y )| w (x y= 2w) } R 8 = {(x,y)| n (x – y = 5n)} R 9 = {(x,y)| z [(x + y)*z = 0]} T T T (1,2) R 7, (2,3) R 7 y (1,3) R 7 x – y = 5n 1, y – z =5n 2 x – z = 5 (n 1 + n 2 ) x – z = 5n (1,-1) R 9, (-1,1) R 9 y (1,1) R 9
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Propiedades de las relaciones En resumen: RelaciónRSAT R 1R 1 -------- R 2R 2 R 3R 3 R 4R 4 R 5R 5 R 6R 6 R 7R 7 R 8R 8 R 9R 9 Relación de equivalencia Relación de orden parcial Relación de orden total
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