FUNCIONES REALES PROPIEDADES GLOBALES

1. Funciones reales de variable real. Entre dos conjuntos existe una correspondencia cuando hay unas reglas que asocian a los elementos del primer conjunto (todos o algunos), elementos del segundo conjunto (todos o algunos) Al primer conjunto se le llama inicial Al segundo conjunto final La variable independiente, x, toma valores en el conjunto inicial La variable dependiente, y, toma valores en el conjunto final

Si la aplicación es entre conjuntos numéricos se llaman funciones Si todos los elementos del conjunto inicial tienen una, y sólo una, imagen del conjunto final, se llama aplicación. APLICACIÓN CORRESPONDENCIA Si la aplicación es entre conjuntos numéricos se llaman funciones Las funciones reales de variable real tienen como conjunto inicial y final o una parte de él.

El dominio D es un subconjunto de donde la función está definida El recorrido es el conjunto de valores que toma la función

2. Dominio. Es el conjunto mayor de valores para los que f(x) está bien definida. Para calcular el dominio, se eliminan de los valores de la variable x que hacen imposible calcular f(x).

Dominios de las funciones más usuales: Funciones polinómicas: Funciones racionales: Funciones irracionales del tipo - Si n impar: - Si n par: Funciones exponenciales, logarítmicas y circulares (se estudiará más adelante)

3. Recorrido. Es el conjunto de valores del eje de ordenadas alcanzados por la función. Se verá en temas siguientes con más detalle y con cada tipo de función, de manera gráfica.

Cálculo del dominio 1

Cálculo del dominio 2

Cálculo del dominio 3

Cálculo del dominio 4

Cálculo del dominio 5

Cálculo del dominio 6

Cálculo del dominio 7

Cálculo del dominio 8

Cálculo del dominio 9

Cálculo del dominio 10

Cálculo del dominio 11

Cálculo del dominio 12

4. Representación de funciones. La gráfica o curva de la función f(x) es el lugar geométrico de los puntos del plano cuyas coordenadas satisfacen la ecuación y = f(x) Un punto P(a,b) pertenece a la curva si b = f(a) Dada la abscisa x = a, para hallar y se sustituye x = a y se obtiene y = f(a). Esta solución es única. Dada la ordenada y = b, para hallar x se resuelve la ecuación b = f(x) que puede tener una, varias o infinitas soluciones.

5. Funciones definidas a trozos. Están definidas aplicando diferentes fórmulas a diferentes partes de su dominio. La gráfica se obtiene representando cada trozo de la función.

6. Operaciones con funciones. Cuando la variable independiente x toma los diferentes valores del dominio, el valor f(x) de la función se obtiene operando con números. Ejemplo: f(x) + g(x) = f(x) - g(x) = f(x) · g(x) = f(x) : g(x) =

7. Composición de funciones. Es la aplicación sucesiva de dos o más funciones elementales. (g f)(x) = g(f(x)) y se lee f compuesto con g. g f existe si

Además Dom g f = Dom f g f existe si

Ejemplo Dadas Calcular (g f)(2) (g f)(x)

8. Función inversa. Dos funciones son inversas o recíprocas cuando la aplicación sucesiva de dichas funciones nos devuelve al valor original. Si f(x) y g(x) son dos funciones inversas se tiene que g(f(x)) = x y f(g(x)) = x La función inversa de f se designa por f-1

Por tanto f y g son inversas Ejemplo 1 ¿f(x) = 2x y g(x) = son inversas? Por tanto f y g son inversas

Esta es la función inversa Ejemplo 2 ¿Cuál es la función inversa de ? Despejamos x: Cambiamos la x por la y: Esta es la función inversa

Gráfica de la función inversa Las gráficas de f y f-1 son simétricas respecto de la recta y = x

9. Monotonía. Es el estudio de cómo aumenta o disminuye la variable dependiente y al aumentar o disminuir la variable independiente x. Para averiguar si una función f es creciente o decreciente en un intervalo es preciso estudiar el signo de f(x2) – f(x1),

Ejemplo 1 f es decreciente en Crecimiento o decrecimiento de la función en el intervalo [1,7] f es decreciente en

Ejemplo 2 f es decreciente en Crecimiento o decrecimiento de la función en el intervalo [-4,-2] f es decreciente en

Ejemplo 3 f es creciente en Crecimiento o decrecimiento de la función en el intervalo [1,2] f es creciente en

f es decreciente en Ejemplo 4 Crecimiento o decrecimiento de la función en el intervalo [-2,-1] f es decreciente en

10. Extremos relativos. Una función f tiene un relativo en un punto de abscisas si existe un entorno de , , tal que para todo x del entorno reducido, , se verifica que

11. Funciones acotadas. Extremos absolutos. Una función está acotada superiormente (inferiormente) por un número real k si todos los valores que toma la función son menores (mayores) o iguales que k. A k se le llama cota superior (inferior) de la función. Una función acotada superiormente (inferiormente) tiene infinitas cotas superiores (inferiores).

A la más pequeña (grande) de las cotas superiores (inferiores) le llamamos extremo superior o supremo (extremo inferior o ínfimo). Si la función alcanza el supremo (ínfimo), éste se llama máximo (mínimo) absoluto de la función. Una función está acotada si lo está superior e inferiormente.

Ejemplos 1 Cotas superiores: 4, 5, 6… Supremo: 4 Máximo absoluto: no Acotada superiormente Cotas superiores: 4, 5, 6… Supremo: 4 Máximo absoluto: no Acotada inferiormente Cotas inferiores: 0, -1, -2,… Ínfimo: 0 Mínimo absoluto: 0 Cotas superiores: 3, 4, 5… Supremo: 3 Cotas inferiores: -2, -3, -4… Ínfimo: -2 Mínimo absoluto: no

Ejemplos 2 Cotas superiores: 5, 6, 7… Supremo: 5 Máximo absoluto: 5 Acotada superiormente Cotas superiores: 5, 6, 7… Supremo: 5 Máximo absoluto: 5 Acotada inferiormente Cotas inferiores: -3, -4, -5,… Ínfimo: -3 Mínimo absoluto: no No acotada superiormente Cotas superiores: no tiene Supremo: no Máximo absoluto: no No acotada inferiormente Cotas inferiores: no tiene Ínfimo: no

Ejemplos 3 Cotas superiores: no tiene Supremo: no Máximo absoluto: no No acotada superiormente Cotas superiores: no tiene Supremo: no Máximo absoluto: no Acotada inferiormente Cotas inferiores: -1, -2, -3… Ínfimo: -1 Mínimo absoluto: -1 Acotada superiormente Cotas superiores: 2, 3, 4… Supremo: 2 No acotada inferiormente Cotas inferiores: no tiene Ínfimo: no Mínimo absoluto: no

12. Funciones simétricas. f(x) es simétrica respecto al eje de ordenadas o eje OY si verifica: f(-x) = f(x) f(x) es simétrica respecto del origen de coordenadas si verifica: f(-x) = -f(x)

Ejemplos

13. Funciones periódicas. Una función f es periódica, de período p (p>0), si verifica: F(x+kp) = f(x) y