Interés Compuesto

DEFINICION Capital Los intereses se capitalizan, es decir, se añaden al capital al final de cada periodo de composición. Intereses Capital + Intereses

Periodo C. Inicial(P) Intereses(I) C. Final (F) 1 1.000 100 1.100 2 10% 2 110 1.210 3 121 1.331 4 133,10 1.464,10 5 146,41 1.610,51

Periodo C. Inicial(P) Intereses(I) C. Final (F) 1 P Pi P(1+i) 2 P(1+i)i P(1+i)2 3 P(1+i)2i P(1+i)3 . ...... ....... ........ n P(1+i)n-1 P(1+i)n-1i P(1+i)n

Características Los intereses devengan intereses Los intereses son crecientes en cada periodo de capitalización Se aplica en cualquier tipo de operación tanto a corto como a largo plazo La equivalencia de capitales es perfecta

Elementos VP: Valor Presente o capital Inicial VF: Valor Futuro o Monto final I: Intereses i: tasa del periodo de capitalización n: plazo de la operación expresado en periodos de capitalización k: Frecuencia de la capitalización Periodo de capitalización: intervalo de tiempo al final del cual se ganan los intereses

Frecuencia de capitalización (k) Número de veces que se capitalizan los intereses al año. Si tomamos como unidad de tiempo el mes, y el interés se compone mensualmente entonces k = 12; si el interés se capitaliza trimestralmente, entonces k = 12/3 = 4; si el interés se convierte bimestralmente, k = = 6

Frecuencia de capitalización (k) Ejemplo: ¿Cuál es la frecuencia de capitalización si realizo un depósito en un banco que paga 21% de interés anual convertible cuatrimestralmente? La frecuencia es 3

NOTACION Y FORMULAS VF = VP*(1+i)n I = VP*[(1+i)n-1] VP = VF*(1+i)-n i = Tasa del periodo de capitalización VP = Valor presente o capital invertido I = Intereses devengados. n = Nº de periodos de capitalización VF = Valor futuro o Monto final

VP GRAFICAS DE INTERES SIMPLE Y COMPUESTO VF = VP*(1 + i)n Tiempo 1 V.Futuro Tiempo 1 VF = VP*(1 + i*n)

Tasa que se declara en la operación financiera TASAS Nominal: i Tasa que se declara en la operación financiera Proporcional o del periodo:ip Efectiva: ie Tasa real de ganancia anual

Ejemplo Nº1 ¿Cuál es el valor final de una inversión de Bs. 1.000.000 colocados durante un año al 36% nominal anual capitalizable mensualmente? ¿Cuál ha sido la tasa anual de ganancia real?

Solución: VP= 1.000.000 k =12 n = 12 meses Dentro de un año tendré Bs. 1.425.760,89

¿Cuál ha sido la tasa anual de ganancia real? Inversión: 1.000.000 Recupero en un año: 1.425.760,89 Intereses ganados en el año: 1.425.760,89-1.000.000 = 425.760,89 Tasa real de ganancia anual = La tasa de ganancia real anual es de 42,58%.

Ejemplo Nº2 ¿Cuál es la tasa efectiva de la operación si colocamos Bs. 1.000.000 al 24% nominal anual convertible trimestralmente durante dos años?

Solución: La tasa efectiva ( ie ) es la tasa compuesta anualmente que produce el mismo valor futuro que colocar al 24% n.a.c.t. Por eso, Tasa efectiva de 26,25% anual

Ejemplo Nº3 ¿Cuál es la tasa efectiva de la operación si colocamos Bs. 1.000.000 durante dos años en un banco que paga 24% nominal anual convertible trimestralmente durante un año y 22% nominal anual capitalizable mensualmente, durante el año siguiente?

Valor al final del primer año: Valor al final del segundo año: Solución: La tasa efectiva ( ie ) es la tasa compuesta anualmente que produce el mismo valor futuro que colocar 1.000.000 a las tasas anteriores. Por eso, Valor al final del primer año: Valor al final del segundo año:

Solución (continuación): Invertimos 1.000.000 y al cabo de 2 años obtenemos como valor final 1.570.012,02. ¿Cuál es la tasa efectiva de la operación? Tasa efectiva de 25,30% anual

TASAS EQUIVALENTES Dos tasas son equivalentes si aplicadas a capitales iguales en el mismo periodo de tiempo producen el mismo capital final Tasa nominal: i Frecuencia anual: k Tasa nominal:j Frecuencia anual: p

Ejemplo Nº4 Hallar la tasa nominal anual capitalizable cuatrimestralmente que es equivalente a 60% nominal anual capitalizable mensualmente. R: 64,65%

En este sentido, la tasa efectiva es la tasa Solución: Tasa: 64,65% nominal anual capitalizable Cuatrimestralmente. En este sentido, la tasa efectiva es la tasa anual equivalente

Los intereses de la fracción se calculan a interés simple PERIODOS FRACCIONARIOS Convenio lineal Los intereses de la fracción se calculan a interés simple Convenio exponencial Los intereses de la fracción se calculan a interés compuesto con la tasa equivalente

Ejemplo Nº5 Una persona recibe un préstamo de Bs. 20.000 que cancelará en dos pagos de la siguiente manera: Bs. 10.000 dentro de diez meses y el resto dentro de un año. La tasa de interés es de 24% nominal anual con capitalización trimestral. Calcular el valor del último pago.

Solución ejemplo Nº5 24% a.c.t es equivalente a 6% t.c.t. x 20.000 10000 10 12 24% a.c.t es equivalente a 6% t.c.t. La deuda se lleva al mes 12 y se igualan a los pagos llevados al mes 12

Ejemplo Nº6 En una institución financiera se colocan Bs. 100.000 al 30% nominal anual con capitalización mensual durante 20 años. Al finalizar los años 5 y 10 se retiraron Bs. 200.000 y Bs. 500.000 respectivamente. Si la tasa de interés disminuye a 18 % nominal anual capitalizado trimestralmente a partir de finales del séptimo año, determine la cantidad adicional que se debe depositar a principios del año 15, para compensar los retiros y la disminución de la tasa de interés y lograr reunir la misma cantidad que se hubiese obtenido de no producirse ningún cambio.

Solución ejemplo Nº6 100.000 200.000 5 500.000 10 14 X 20 7 18%

Ejercicios Se invierten 1.500.000 durante 8 meses a la tasa de 20% nominal anual capitalizable mensualmente. ¿Cuál es la tasa efectiva de la operación? 2) Se invierten 2.300.000 durante 1 año y 5 meses a la tasa de 24% nominal anual capitalizable trimestralmente. ¿Cuál es la tasa efectiva de la operación? 3) Se invierten 800.000 durante 1 año y 6 meses a la tasa de 18% n.a.c.m., durante los ochos primeros meses y al 20% n.a.c.m., durante el resto de la operación. ¿Cuál es la tasa efectiva de la operación? R: 21,94%; 26,25%; 20,88%

Frecuencia de capitalización Tasa equivalente trimestral Ejercicio 4 : Se colocan Bs. 1.000 a 36% n.a. por un año. Completar la siguiente tabla: Frecuencia de capitalización Tasa del periodo Tasa efectiva Capital Final Tasa equivalente trimestral Anual Semestral Cuatrimestral 12% Trimestral Bimestral Mensual 1.425,70 Quincenal Diaria 37,65 % n.a.

Ejercicio Nº5 Usted necesita 5.000 $ para sus vacaciones de Diciembre con la familia. Si puede colocar el capital en un Banco que paga el 12% n.a. capitalizado mensualmente, ¿cuánto debe depositar el 1° de Febrero si quiere irse de vacaciones el 1° de Diciembre? R: 4.526,43 $

Ejercicio Nº6 Un inversionista coloca 2.500.000 a una tasa de 20% nominal anual capitalizado trimestralmente, durante 15 años. Calcule: El total de intereses devengados entre final del año 6 y finales del primer trimestre del año 9. b) El total de intereses ganados hasta el final del año 15. R: Bs. 4.445.221,50; Bs. 44.197.964,73

Ejercicio Nº7 Se coloca una cantidad de dinero así: durante 9 meses a 20% anual capitalizado semestralmente, por los siguientes cuatro meses a 30% anual capitalizado mensualmente, por 8 meses más a una tasa de 27% anual capitalizado cuatrimestralmente y, finalmente, por 15 meses mas a una tasa de 24% anual capitalizado trimestralmente. El monto al término de la operación fue de 4.049.457,14. Determine el capital inicial y la tasa efectiva anual de la operación. R: El capital inicial es 2.000.000 tasa efectiva es 26,51%

TASAS VARIABLES ij es la tasa nominal con frecuencia kj durante nj periodos de capitalización.

Solución: 1) 2)

Solución: 3)

Frecuencia de capitalización Tasa equivalente trimestral Solución 4: Se colocan Bs. 1.000 a 36% n.a. por un año. Completar la siguiente tabla: Frecuencia de capitalización Tasa del periodo Tasa efectiva Capital Final Tasa equivalente trimestral Anual 36% 1.360 31.96% n.a. Semestral 18% 39.24% 1.392,4 34.51% n.a. Cuatrimestral 12% 40.49% 1.404,9 35.48% n.a. Trimestral 9% 41.15% 1.411,5 36.00% n.a. Bimestral 6% 41.85% 1.418,5 36.53% n.a. Mensual 3% 42.57% 1.425,7 37.09% n.a. Quincenal 1,5% 42.95% 1.429,5 37.37% n.a. Diaria 0,1% 43.30% 1.433,0 37.65% n.a.

Solución Nº5: Necesita depositar 4.526,43 $

Solución Nº6 Diagrama Temporal: 6 8 9 15 1 9 trimestres I = 12.507.971,36 – 8.062.749,86 = 4.445.221,50

Solución Nº7 El capital inicial es 2.000.000 y la tasa efectiva es 26,51%