“CURSO PROPEDÉUTICO PARA EL MEJORAMIENTO DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO” INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE ALAMO TEMAPACHE “CURSO PROPEDÉUTICO PARA EL MEJORAMIENTO DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO” ING. FELIPE DE JESÚS MORENO OBANDO

Sistemas de ecuaciones lineales. Igualdad: Es la expresión de que dos cantidades o expresiones algebraicas tienen el mismo valor. Ejemplos: Ecuación: Es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que sólo se verifica o es verdadera para determinados valores de las incógnitas. Las incógnitas se representan por las últimas letras del alfabeto: x, y, z, u, v.

Sistemas de ecuaciones lineales. Identidad: Es una igualdad que se verifica para cualesquiera valores de las letras que entran en ella. Así, Son identidades porque se verifican para cualesquiera valores de las letras a y b en el primer ejemplo y de las letras a y m del segundo ejemplo. El signo de identidad es , que se lee “idéntico a”. Así, la identidad de (x+y)2 con x2+2xy+y2 se escribe y se lee (x+y)2 idéntico a x2+2xy+y2.

Sistemas de ecuaciones lineales. Miembros: Se llama primer miembro de una ecuación o de una identidad a la expresión que esta a la izquierda del signo de igualdad o identidad, y segundo miembro, a la expresión que está a la derecha. Ejemplo: Términos: Son cada una de las cantidades que están conectadas con otra por el signo + o - , o la cantidad que está sola en un miembro. De la ecuación anterior los términos son 3x, -5, 2x y -3. Primer miembro. Segundo miembro.

Sistemas de ecuaciones lineales. Clases de ecuaciones: Una ecuación numérica es una ecuación que no tiene más letras que las incógnitas, como donde la única letra es la incógnita x. Una ecuación literal es una ecuación que además de las incógnitas tiene otras letras, que representan cantidades conocidas. Una ecuación es entera cuando ninguno de sus términos tiene denominador como en los ejemplos anteriores, y es fraccionaria cuando algunos o todos sus términos tienen denominador.

Sistemas de ecuaciones lineales. Grado de una ecuación con una sola incógnita es el mayor exponente que tiene la incógnita en la ecuación. Así, son ecuaciones de primer grado porque el mayor exponente de x es 1. La ecuación: Es una ecuación de segundo grado porque el mayor exponente de x es 2. Las ecuaciones de primer grado se llaman ecuaciones simples o lineales.

Sistemas de ecuaciones lineales. Raíces o soluciones de una ecuación son los valores de las incógnitas que verifican o satisfacen la ecuación, es decir, que sustituidas en lugar de las incógnitas, convierten la ecuación en identidad. Así, en la ecuación La solución es 7 porque haciendo x=7 se tiene: Donde vemos que 7 satisface la ecuación. Las ecuaciones de primer grado con una incógnita tienen una sola raíz. O sea

Sistemas de ecuaciones lineales. Axioma fundamental de las ecuaciones. “Si con cantidades iguales se verifican operaciones iguales los resultados serán iguales”. Reglas que se verifican de este axioma: Si a los dos miembros de una ecuación se suma una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste. Si a los dos miembros de una ecuación se resta una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste. Si a los dos miembros de una ecuación se multiplican por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste. Si a los dos miembros de una ecuación se dividen por una misma cantidad, positiva o negativa , la igualdad subsiste. Si a los dos miembros de una ecuación se elevan a una misma potencia o si a los dos miembros se extrae una misma raíz, la igualdad subsiste.

Sistemas de ecuaciones lineales. La transposición de términos: Consiste en cambiar los términos de una ecuación de un miembro al otro. Regla: “Cualquier término de una ecuación se puede pasar de un miembro a otro cambiándole el signo”. Sea la ecuación Sumando b a los dos miembros de esta ecuación, la igualdad subsiste (Regla 1), y tendremos: Y como –b + b=0, queda Donde vemos que –b, que estaba en el segundo miembro de la ecuación dada, ha pasado al primer miembro con signo +.

Sistemas de ecuaciones lineales. Sea la ecuación Restando b a los dos miembros de esta ecuación, la igualdad subsiste (Regla 2), y tendremos: Y como b –b = 0, queda Donde vemos que +b, que estaba en el primer miembro de la ecuación dada ha pasado al segundo miembro con signo .

Sistemas de ecuaciones lineales. Resolución de ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita. Regla general. Se efectúan las operaciones indicadas, si las hay. Se hace la transposición de términos, reuniendo en un miembro todos los términos que contengan la incógnita y en el otro miembro todas las cantidades conocidas. Se reducen términos semejantes en cada miembro. Se despeja la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita.

Sistemas de ecuaciones lineales. Ejemplo: Resolver la ecuación Verificación: Pasando x al primer miembro y -5 al segundo, cambiándoles los signos. Reduciendo términos semejantes. Despejando x para lo cual dividimos los dos miembros de la ecuación por 2. Simplificando tenemos como solución. En el caso anterior, haciendo x=4 en la ecuación dada tenemos. Nota: El valor x=4 satisface la ecuación.

Sistemas de ecuaciones lineales. Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones de primer grado que deben satisfacerse simultáneamente. Donde: a1, a2, b1, b2, c1 y c2 son números reales. Una solución de un sistema es un par de números (x, y) que verifica ambas ecuaciones del sistema. Si dos o más sistemas tienen la misma solución se llaman sistemas equivalentes.

Sistemas de ecuaciones lineales. Para resolver un sistema de esta clase es necesario obtener de las dos ecuaciones dadas una sola ecuación con una incógnita. Esta operación se llama Eliminación. Métodos de eliminación más usuales: Método por igualación. Método por sustitución. Método por reducción “De suma o resta”..

Método por igualación. El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones. Resolver el sistema

Método por igualación. Solución: Despejamos la variable “y” de ambas ecuaciones.

Método por igualación. Solución: Se establece la igualdad: Luego: La solución es 3,5

Método por sustitución. El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor. En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado.

Método por sustitución. Resolver el sistema: Solución. Primero despejamos “y” de la ecuación (1): Luego “y” en (2):

Método por sustitución. Solución. Finalmente La solución es

Método por reducción. Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple.

Método por reducción. Resolver el sistema Solución: Multipliquemos la ecuación (2) por 2:

Método por reducción. Solución: Luego La solución es

Ejercicios propuestos. 1.1 Escribe estos enunciados en forma de ecuación. La suma de dos números consecutivos es 21. La suma de tres números pares consecutivos es 30. Un número más su quinta parte es 12. Solución:

Ejercicios propuestos. 1.2 En una academia de idiomas el número de alumnos que estudian francés es la mitad de los que estudian ingles. Calcula el número de alumnos de cada grupo si en total son 240. Solución: Sea x el número de alumnos de francés. Hay 80 alumnos que estudian francés y 160 alumnos que estudian inglés.

Ejercicios propuestos. 1.3 Resuelve la siguiente ecuación: Solución:

Ejercicios propuestos. 1.4 Resuelve esta ecuación: Solución:

Ejercicios propuestos. 1.5 Las edades de tres alumnos son números pares consecutivos. Si la suma de sus edades es 42, ¿Cuántos años tiene cada uno? Solución: La ecuación es: Los tres alumnos tienen las edades de 12, 14 y 16 años.

Ejercicios propuestos. 1.6 María ha dibujado un rectángulo cuyo largo es tres veces el ancho. Si el perímetro del rectángulo mide 80 centímetros, ¿Cuánto mide el área? Solución: Si x es el ancho, 3x es el largo. Entonces, el perímetro es: Como el perímetro mide 80 centímetros, entonces tenemos: x 3x El área es A=10*30=300 cm2

Ejercicios propuestos. 1.7 ¿Para qué valor de x la balanza está equilibrada? Solución: Para qué la balanza esté equilibrada el valor de x es 7.

Ecuaciones de segundo grado. Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación polinomial donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica: Donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0, b el coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente o constante.

Ecuaciones de segundo grado. Discriminante de una ecuación cuadrática. El discriminante de una ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado , donde los tres coeficientes a, b y c son distintos de cero; se representa con el símbolo y se calcula mediante la fórmula: Si la ecuación cuadrática no aparece de la forma entonces se deben realizar las operaciones necesarias para expresarla así, antes de proceder a calcular el discriminante.

Ecuaciones de segundo grado. Consideraremos tres casos: Es una cantidad positiva. En este caso las raíces son reales y desiguales. Si es un cuadrado perfecto, las raíces son racionales, y si no lo es, son irracionales. Es cero. En este caso las raíces son reales e iguales. Su valor es . Es una cantidad negativa. En este caso las raíces son imaginarias y desiguales.

Ecuaciones de segundo grado. Ejemplos: Determine el discriminante de la expresión: Solución: Tenemos que a = 3, b = -7 y c = 2. Utilizando la fórmula para calcular el discriminante se obtiene. Como =25 es positiva, las raíces son reales y desiguales y como 25 es cuadrado perfecto ambas raíces son racionales.

Ecuaciones de segundo grado. Ejemplos: Determine el discriminante de la expresión: Solución: Tenemos que a = 3, b = 2 y c = -6. Utilizando la fórmula para calcular el discriminante se obtiene. Como =76 es positiva, las raíces son reales y desiguales y como 76 no es cuadrado perfecto las raíces son irracionales.

Ecuaciones de segundo grado. Ejemplos: Determine el discriminante de la expresión: Solución: Tenemos que a = 3, b = 2 y c = -6. Utilizando la fórmula para calcular el discriminante se obtiene. Como =0, las raíces son reales e iguales.

Ecuaciones de segundo grado. Ejemplos: Determine el discriminante de la expresión: Solución: Tenemos que a = 1, b = -2 y c = 3. Utilizando la fórmula para calcular el discriminante se obtiene. Como = -8 es negativa, las raíces son imaginarias.

Resolución de una ecuación cuadrática. La ecuación de segundo grado , donde los tres coeficientes a, b y c son distintos de cero. Esta ecuación admite tres posibilidades para las soluciones: dos números reales y diferentes, dos números reales e iguales (un número real doble), o no hay solución, dependiendo del valor que tome el discriminante: sea positivo, cero o negativo; veamos:  > 0 2 soluciones distintas  = 0 1 única solución  < 0 No hay solución real (números complejos)

Resolución de una ecuación cuadrática. La ecuación completa de segundo grado tiene siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas, dadas por la fórmula general: Donde el símbolo "±" indica que los dos valores: Son soluciones de la ecuación cuadrática.

Resolución de una ecuación cuadrática. Ejemplo 1: Determine el conjunto solución de la ecuación mediante despeje. Solución: La solución es:

Resolución de una ecuación cuadrática. Ejemplo 2: Resuelva la ecuación , mediante factorización. Solución: La solución es:

Resolución de una ecuación cuadrática. Ejemplo 3: Determine el conjunto solución de la ecuación , mediante fórmula general. Solución: Tenemos que a = 2, b = -14 y c = 20. Se calcula el discriminante.

Resolución de una ecuación cuadrática. Ejemplo 3: Determine el conjunto solución de la ecuación , mediante fórmula general. Solución: Luego se utiliza la fórmula general para determinar x1 y x2. La solución es:

Aplicaciones de una ecuación cuadrática. La ecuación cuadrática es de gran importancia en matemáticas aplicadas y en general, puesto que se aplica muy frecuentemente en la resolución de problemas de la vida cotidiana. Ejemplo: Determinar k de modo que las dos raíces de la ecuación x2 −kx + 36 = 0 sean iguales. Solución: El valor que puede tomar k es 12.

Aplicaciones de una ecuación cuadrática. Ejemplo 2: La suma de dos números es 5 y su producto es -84. Halle dichos números. Solución: (S es el resultado de la suma y P el resultado del producto). Los números son: 12 y -7.