Funciones reales de variable real Dirección de Formación Básica

Funciones reales de variable real Habilidades a desarrollar: Al terminar el presente tema, usted estará en la capacidad de: Identificar variables dependientes e independientes. Determinar analíticamente el dominio y el rango de una función a partir de grafica de funciones. Reconocer gráficamente los intervalos en donde una función es creciente, decreciente o constante. Reconocer gráficamente los intervalos en donde una función es positiva o negativa.

Funciones reales de variable real Problema motivador. Reflexiona y contesta las situaciones planteadas Cuando hablas por celular, ¿de qué depende el costo de esa llamada?____________________________ Un vendedor de autos tiene un sueldo fijo de S/. 2000 por quincena, y recibe una comisión por cada auto vendido. ¿De qué dependerá su sueldo en la próxima quincena?______________________________

Funciones reales de variable real Decimos que la cantidad 𝑦 está en FUNCIÓN de la cantidad 𝑥, si se cumple que cada valor de 𝑥 se relaciona con un ÚNICO valor de 𝑦. A la cantidad 𝑦 se le llama variable dependiente y a la cantidad 𝑥 se le llama variable independiente. La forma de denotar esta relación funcional es: 𝑦=𝑓(𝑥), que se lee como “𝑦 está en función de 𝑥” o “𝑦 depende de 𝑥”.

Variable independiente Funciones reales de variable real Cómo comprobar si una relación entre dos cantidades o variables es una función Para verificar si existe una relación funcional entre dos cantidades o variables podemos representar la situación mediante diagramas, de la siguiente manera Variable independiente Variable dependiente Debemos de analizar los valores de 𝑥 y de 𝑦, y comprobar que se cumple que cada valor de 𝑥 se relaciona con un único valor de 𝑦. 𝑥 𝑦 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 𝑦 1 𝑦 2 𝑦 3 𝑦 4

Funciones reales de variable real Ejemplo 1. La relación 𝑓 que va del conjunto 𝐴 hacia el conjunto 𝐵 𝑓 En este caso si es función, ya que a cada elemento del conjunto 𝐴 se relaciona con un único elemento del conjunto 𝐵. 𝐴 𝐵 −1 1 1 2 3 ¿es una función?

Funciones reales de variable real Ejemplo 2. La relación 𝑓 que va del conjunto 𝐴 hacia el conjunto 𝐵 𝑓 En este caso no es función, ya que existe al menos un elemento del conjunto 𝐴 que se relaciona con dos elementos del conjunto 𝐵. 𝐴 𝐵 −1 1 −4 1 ¿es una función?

Funciones reales de variable real Prueba de la recta vertical Otra forma de determinar si una relación es una función, es por medio de la regla de la recta vertical, la cual consiste en trazar líneas verticales en la grafica de la relación. Si al trazar dichas líneas, todas cortan a la grafica de la función es un solo punto, entonces sí es un función, ya que cada valor de la variable independiente se relaciona con un único valor de la variable dependiente. Si al menos una línea vertical corta la gráfica en 2 o más puntos, entonces no es una función, ya que la variable independiente se estaría relacionando con más de un valor de la variable dependiente.

Funciones reales de variable real Ejemplo 3 Indica si la relación dada mediante la siguiente grafica corresponde a una función. Resolución. Si es función, ya que cualquier recta vertical corta a la gráfica de la relación en un solo punto.

Funciones reales de variable real Ejemplo 4 Indica si la relación dada mediante la siguiente grafica corresponde a una función. Resolución. No es función, ya que existe al menos una recta vertical que corta a la gráfica de la relación en más de un punto.

Funciones reales de variable real Dominio y rango de una función El dominio y rango de una función son conceptos relacionados con sus variables, veamos cómo se definen: Dominio: Es el conjunto de todos los posibles valores de la variable independiente. Rango o imagen: Es el conjunto de valores correspondientes a la variable dependiente.

Funciones reales de variable real Ejemplo 5 Encuentre el dominio de las siguientes funciones a) 𝑓 𝑥 =2𝑥+1 Resolución Note que sin importar el valor real que asuma la variable 𝑥, el valor 𝑓(𝑥) siempre existirá. Por tanto, 𝐷𝑜𝑚 𝑓 =ℝ b) 𝑔 𝑥 = 𝑥 3𝑥−2 Resolución Observe que el denominador tiene que ser distinto de cero, es decir: 3𝑥−2≠0 →3𝑥≠2 →𝑥≠ 2 3 . Por tanto, 𝐷𝑜𝑚 𝑔 =ℝ−{ 2 3 }

Funciones reales de variable real Ejemplo 6 A partir de la gráfica de la función 𝑓, determine su dominio y rango. Resolución. Dominio: 𝐃𝐨𝐦 𝒇 =]−∞;−𝟐[∪[−𝟏;𝟐 ∪ 𝟐;𝟒] Rango: 𝐑𝐚𝐧 𝒇 =]−∞;𝟒] ∪{𝟔} Resolución. Dominio: 𝐃𝐨𝐦 𝒇 =]−∞;−𝟐[∪[−𝟏;𝟐 ∪ 𝟐;𝟒]

Funciones reales de variable real Crecimiento de una función Diremos que una función 𝑓:𝐴→ℝ es creciente cuando : 𝑚, 𝑛 𝜖 𝐴, 𝑚<𝑛 ⟹ 𝑓 𝑚 <𝑓 𝑛 Por ejemplo, la función 𝑓 𝑥 =2𝑥−3 es creciente en su dominio. Analíticamente: Dom 𝑓 =ℝ. Sea 𝑚,𝑛∈ℝ, 𝑚<𝑛. Debemos de demostrar que 𝑓 𝑚 <𝑓(𝑛). En efecto: sabemos que 𝑚 < 𝑛 → 2𝑚 < 2𝑛 → 2𝑚−3 < 2𝑛−3 → 𝑓(𝑚) < 𝑓(𝑛) Por tanto, 𝑓 𝑥 =2𝑥−3 es creciente en su dominio.

Funciones reales de variable real Decrecimiento de una función Diremos que una función 𝑓:𝐴→ℝ es decreciente cuando : 𝑚, 𝑛 𝜖 𝐴, 𝑚<𝑛 ⟹ 𝑓 𝑚 >𝑓 𝑛 Por ejemplo, la función 𝑓 𝑥 =−𝑥+3 es decreciente en su dominio. Analíticamente: Dom 𝑓 =ℝ. Sea 𝑚,𝑛∈ℝ, 𝑚<𝑛. Debemos de demostrar que 𝑓 𝑚 >𝑓 𝑛 . En efecto: sabemos que 𝑚 < 𝑛 → −𝑚 > −𝑛 → −𝑚+3 > −𝑛+3 → 𝑓(𝑚) > 𝑓(𝑛) Por tanto, 𝑓 𝑥 =−𝑥+3 es decreciente en su dominio.

Funciones reales de variable real Nota Si una función no es creciente ni decreciente en un intervalo, entonces la función es constante en dicho intervalo. Por ejemplo, la función 𝑓 𝑥 =3 es no crece ni decreciente en su dominio. En particular, si la función 𝑓 es constante en un intervalo, entonces su grafica es una recta horizontal para dicho intervalo.

Funciones reales de variable real Ejemplo 7 A partir de la gráfica de la función 𝑓, determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Resolución Es creciente en el intervalo ]−2;−1[ Es decreciente en el intervalo ]−∞;−2[ y ]0; 2[

Funciones reales de variable real Función positiva Diremos que una función 𝑓:𝐴→ℝ es positiva cuando para cualquier 𝑥∈𝐴 se cumple que 𝑓 𝑥 >0. Por ejemplo, de la grafica de la función 𝑦=𝑓 𝑥 se observa que 𝑓 es positiva en los intervalos −∞;−3 y 3; +∞ Si 𝒇 es positiva en el intervalo 𝑨, entonces su grafica está por encima del eje 𝒙.

Funciones reales de variable real Función negativa Diremos que una función 𝑓:𝐴→ℝ es negativa cuando para cualquier 𝑥∈𝐴 se cumple que 𝑓 𝑥 <0. Por ejemplo, de la grafica de la función 𝑦=𝑓 𝑥 se observa que 𝑓 es negativa en los intervalos −3;3 Si 𝒇 es negativa en el intervalo 𝑨, entonces su grafica está por debajo del eje 𝒙.

Función real con variable real. Conclusiones El dominio de una función es el “conjunto más grande” de los valores de la variable independiente de tal manera que la función exista. Si conforme el 𝑥 aumenta se observa que el 𝑦=𝑓(𝑥) también aumenta, entonces la función es creciente. Si conforme el 𝑥 aumenta se observa que el 𝑦=𝑓(𝑥) disminuye, entonces la función es decreciente. Si la gráfica de una función esta por encima del eje 𝑥, entonces 𝑦=𝑓(𝑥) es positiva. Si la gráfica de una función esta por debajo del eje 𝑥, entonces 𝑦=𝑓(𝑥) es negativa.

Función real de variable real Bibliografía [1] Arya, Jagdish C. (2009) Matemática aplicada a la Administración. Ed 5. México, D.F. Pearson. [2] Haeussler, Ernest F. (2008). Matemática para Administración y Economía. Ed 12. Pearson Educación.