Tema II Espacios vectoriales MATEMÁTICAS II Tema II Espacios vectoriales @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. 2. ESPACIOS VECTORIALES Los conjuntos R2 y Rn. Espacios vectoriales. Combinaciones lineales. Sistema generador. Dependencia e independencia lineal. Subespacios vectoriales. EJERCICIOS DEL LIBRO PROBLEMAS DEL LIBRO @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. EL CONJUNTO R2 y Rn TEMA 2.10 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. EL CONJUNTO R2 El conjunto R2 es el producto cartesiano del conjunto de los números reales. R2 = R x R = {(a,b) / a, b є R } Cada par de números reales (a, b) representa un punto del plano. Dado el punto A de R2 , llamamos: Primera coordenada o componente del punto A al valor a. Segunda coordenada o componente del punto A al valor b. Operaciones: Suma Dados dos pares ordenados (a,b) y (c,d), su suma es otro par ordenado: (a,b)+(c,d) = (a+c, b+d) Producto Dado un par (a,b) y un número real k, el producto de k por (a, b) es otro par ordenado: k.(a,b) = (k.a, k.b) @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. EL CONJUNTO Rn El conjunto Rn está compuesto por todas las n-uplas ordenadas de números reales. Rn = R x R x ….. x R = {(x1, x2, … , xn) / xi є R, Vi = 1, 2, … , n } Dos n-uplas son iguales si verifican las n igualdades: x1 = y1 , x2,= y2, ….., xn,= yn Operaciones En Rn se definen las siguientes operaciones: Suma (x1, x2, … , xn) + (y1, y2, … , yn) = (x1+ y1, x2+ y2, ….., xn + yn) Producto k. (x1, x2, … , xn) = (k.x1, k.x2, … , k.xn), para todo k є R @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. PROPIEDADES ASOCIATIVA (x1, x2, … , xn) + [ (y1, y2, … , yn) + (z1, z2, … , zn) ] = [ (x1, x2, … , xn) + + (y1, y2, … , yn) ] + (z1, z2, … , zn) COMMUTATIVA (x1, x2, … , xn) + (y1, y2, … , yn) = (y1, y2, … , yn) ] + (x1, x2, … , xn) ELEMENTO NEUTRO (x1, x2, … , xn) + (0, 0, … , 0) = (x1, x2, … , xn) ELEMENTO OPUESTO (x1, x2, … , xn) + (- x1, - x2, … , - xn) = (0, 0, … , 0) DISTRIBUTIVA RESPECTO A LA SUMA k.[(x1, x2, … , xn) + (y1, y2, … , yn)] = = k.(x1, x2, … , xn) + k.(y1, y2, … , yn) DISTRIBUTIVA RESPECTO A LA SUMA DE ESCALARES (λ+μ).(x1, x2, … , xn) = λ.(x1, x2, … , xn) + μ.(x1, x2, … , xn) ASOCIATIVA RESPECTO AL PRODUCTO DE ESCALARES (λ.μ).(x1, x2, … , xn) = (λ.(x1, x2, … , xn)).μ) ELEMENTO NEUTRO 1.(x1, x2, … , xn) = (x1, x2, … , xn) @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. ESPACIOS VECTORIALES Consideremos un conjunto V = (u, v, w, …) a cuyos elementos llamamos vectores y definamos en él las siguientes operaciones: Suma V x V  V (u, v)  u + v Producto de un vector por un escalar R x V  V (k, u)  k.u El conjunto V, con las operaciones de suma y producto por un escalar, es un especio vectorial real si verifica que 1.- (V, +) es un grupo commutativo. 2.- El producto por un escalar cumple las propiedades características. El espacio vectorial se expresa mediante la terna (V, +, .) @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. PROPIEDADES GRUPO COMMUTATIVO ASOCIATIVA u+(v+w)=(u+v)+w COMMUTATIVA u+v=v+u ELEMENTO NEUTRO u+0=u ELEMENTO OPUESTO u+(-u)=0 OTRAS DISTRIBUTIVA RESPECTO A LA SUMA k.(u+v) = ku + kv DISTRIBUTIVA RESPECTO A COEFICIENTES (k+t)u = ku+tu ASOCIATIVA k(tu)=(k.t)u ELEMENTO NEUTRO 1u=u @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.