Matemáticas 4º ESO Opción B TEMA 10 * 4º ESO Opc B SUCESIONES @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B TEMA 10.1 * 4º ESO Opc B LÍMITE DE UNA SUCESIÓN @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Sucesiones de nºs reales SUCESIÓN es el conjunto de números ordenados mediante una regla o ley de formación. Cada uno de los números ordenados se llama término. El término general o genérico (encerrado entre llaves) nos señala la ley de formación. El desarrollo de la sucesión es automático, sin más que sustituir n por el cardinal del lugar que ocupa el término. EJEMPLO Sea la sucesión an = {2.n – 3} Para n=1  a1 = 2.1 – 3 = – 1 Para n=2  a2 = 2.2 – 3 = 1 Para n=3  a3 = 2.3 – 3 = 3 Para n=4  a4 = 2.4 – 3 = 5 Y así sucesivamente, resultando la sucesión an = – 1 , 1 , 3 , 5 , … @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Ejemplos: Cardinal  n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 … {n} = {2n} = {2n - 1} = {3n} = {n2} = {n3} = {1 / n } = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ......... 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , ......... 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , ......... 3 , 6 , 9 , 12, 15 , ......... 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , ......... 1 , 8 , 27 , 64 , 125 , ......... 1 , 0'5 , 0'33 , 0'25, 0,2 , …..... @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Límite de una sucesión Una sucesión es una función real cuyo dominio es el conjunto de los números naturales N. Una sucesión de números reales tiene por límite el número real a cuando, dado un número real r positivo, por pequeño que sea, existe un término de la sucesión tal que todos los siguientes a él verifican: |an – a| < r El límite se representa por la notación. Lím an = a noo Si una sucesión tiene por límite un número real se llama convergente. En caso contrario se llama divergente. Aparece el +oo o el - oo @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Convergencia de sucesiones SUCESIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES .‑ Son aquellas en que el valor de los términos crece o decrece respectivamente respecto a los términos anteriores. Tanto unas como otras pueden o no tener límite. Ejemplos: {n} = 1, 2, 3, 4, 5, ........., 1000, …. Es creciente y divergente {1 / n} = 1, 0'5, 0'33, 0'25, ... , 0,0001, … , 0,00000001, … Es decreciente y convergente. Tiende a tomar el valor 0, su límite. {(4 – 3.n) / n} = 1, – 1 , – 1’66 , – 2, .... , – 2’96, .... Es decreciente y convergente. Tiende a tomar el valor – 3, su límite. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Ejemplo 1 2n - 1 Sea la sucesión an = -------- n Hallar su límite. Calcular la distancia entre el término a10 y el límite. Hallar el término a partir del cual esa distancia es menor que una milésima. Hallamos el valor de algunos términos: a1 = 1, a10 = 1’9, a100 = 1’99 Lím an = 2 noo Hallamos la distancia de a10 al límite | a10 - a | = |1,9 – 2| = |-0’1| = 0’1 Hallamos el término pedido: | an - a | < r  | an - 2 | < 0,001 2n – 1 2n – 1 – 2n | -------- - 2 | < 0,001  | ----------------- | < 0,001 n n 1/n < 0,001  1 < 0,001.n  1/0,001 < n  n > 1000  n=1001 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Ejemplo 2 2 – 3n Sea la sucesión bn = --------- n + 1 Hallar su límite. Calcular la distancia entre el término b20 y el límite. Hallar el término a partir del cual esa distancia es menor que una diezmilésima. Hallamos el valor de algunos términos: b1 = -0’5, b20 = -2’7619, b2000 = -2’9975  Lím bn = - 3 noo Hallamos la distancia de a20 al límite | b20 - b | = |- 2’7619 – (-3)| = |3 – 2’7619 | = 0’2381 Hallamos el término pedido: | bn - b | < r  | bn – (-3) | < 0,0001 2 – 3n 2 – 3n + 3n + 3 | ----------- - (-3) | < 0,0001  | --------------------- | < 0,0001 n + 1 n +1 5/(n+1) < 0,0001  5 < 0,0001.n + 0,0001  5 – 0’0001 < 0’0001n 4’9999 < 0,0001n  4’9999 /0’0001 < n  n > 49999  n=50000 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

OPERACIONES CON INFINITOS TEMA 10.1 * 4º ESO Opc B OPERACIONES CON INFINITOS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Operaciones con ± ∞ Más infinito (+ ∞): Representa el concepto, no el número, de ser mayor que cualquier número. Menos infinito (– ∞): Representa el concepto, no el número, de ser menor que cualquier número. Sea a un número real cualquiera. a + ∞ =+ ∞ , a – ∞ =– ∞ + ∞ + ∞ =+ ∞ , – ∞– ∞=– ∞ Si a >0  a .(+ ∞) =+ ∞ , a.(– ∞) =– ∞ (+ ∞) / a =+ ∞ , (– ∞) / a =– ∞ Si a <0  a .(+ ∞) =- ∞ , a.(– ∞) =+ ∞ (+ ∞) /a =- ∞ , (– ∞) /a =+ ∞ (+ ∞).(+ ∞) =(+ ∞) , (– ∞).(– ∞)=(+ ∞) (+ ∞).(- ∞) =(- ∞) , (– ∞).(+ ∞)=(- ∞) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Operaciones con ± ∞ Sea a un número real cualquiera. a / 0 =+ ∞ , a /± ∞ = 0 Si a >1  a + ∞ = + ∞ , a - ∞ = 0 Si 0 < a <1  a + ∞ = 0 , a - ∞ = + ∞ (+oo) ∞ = + ∞ , (± ∞) - ∞ = 0 EXPRESIONES INDETERMINADAS [∞ - ∞] [∞ / ∞] [0. ∞] [0 / 0] ∞ 0 0 [1 ] [∞ ] [0 ] @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

PROPIEDADES OPERATIVAS a) Si existe límite, éste debe ser único. b) El límite de una suma es la suma de los límites: lím (an ± bn) = lím an ± lím bn n∞ n∞ n∞ c) El límite de una constante por una sucesión es la constante por el límite de la sucesión: lím k.an = k. lím an n∞ n∞ d) El límite de un producto o división es el producto de los límites: lím (an . bn) = lím an . lím bn n∞ n∞ n∞ e) El límite de una potencia es la potencia de los limites : bn lím bn lím (an) = (lím an) n∞ n∞ n∞ f) El límite del logaritmo es el logaritmo del límite: lím Log an = Log lím an n∞ a a n∞ @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Ejemplo 1 n – 1 1 + n Sea las sucesiones an = -------- y bn = -------- n 1 – n Hallar los límites de an y bn. Hallar el límite de an + bn. Hallar el límite de an . bn. Hallamos el valor de los límites: a1 = 0, a10 = 0’9, a100 = 0’99  Lím an = 1 noo b1 = oo, b10 = -1’22, a100 = -1’022  Lím bn = -1 Hallamos el limite de la suma: Lím ( an + bn ) = Lím an + Lím bn = 1 + (-1) = 0 noo noo noo Hallamos el limite del producto: Lím ( an . bn ) = Lím an . Lím bn = 1 .(-1) = - 1 noo noo noo @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Ejemplo 2 n2 – 1 1 Sea las sucesiones an = -------- y bn = -------- n n - 1 Hallar los límites de an , bn , an + bn. , y an . bn. Hallamos el valor de los límites: a1 = 0, a10 = 9’9, a100 = 99’99  Lím an = oo No tiene noo b1 = oo, b10 = 0,11, a100 = 0,011 Lím bn = 0 Hallamos el limite de la suma: Lím ( an + bn ) = Lím an + Lím bn = oo + 0 = oo No tiene noo noo noo Hallamos el limite del producto: Lím ( an . bn ) = Lím an . Lím bn = oo. 0 = INDETERMINACIÓN noo noo noo Lím ( an . bn ) = Lím (n2 – 1)/n.(n – 1) = Lím (n + 1)/n = 1 noo noo noo @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B