Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Área Académica: Ingeniería Mecánica Profesor(a): M. en C. Yira Muñoz Sánchez Dr. Martín Ortíz Domínguez Periodo: Enero – Junio 2015

Cálculo Diferencial Resumen En este material se presentan conceptos y ejemplos de temas como: Límites y Razones de Cambio. Siendo estos indispensables en la materia de cálculo diferencial e integral. Abstract This material presents concepts and examples about topics as limits and rates of change. These are necessary in differential and integral calculus. Keywords: Limits, calculus, rates of change.

Solución de una ED Una función f definida en un intervalo I, es solución de una ecuación diferencial en el intervalo si sustituida en dicha ecuación la reduce a una entidad. Una solución de una ecuación diferencial ordinaria general de orden n: 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑑𝑦 𝑑𝑥 , . . . , 𝑑𝑛𝑦 𝑑𝑥𝑛 =0 es una función y = f(x) que tiene por lo menos n derivadas y satisface la ecuación. 𝐹 𝑥, 𝑓 𝑥 , 𝑓 ′ 𝑥 , . . . , 𝑓 𝑛 𝑥 =0

Solución de una ED Al resolver una ecuación de n-ésimo orden 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦1, . . . , 𝑦𝑛 =0 en donde 𝑦(𝑛) significa 𝑑 𝑛 𝑦 𝑑𝑥 𝑛 se espera obtener una famillia n-paramétrica de soluciones 𝐺 𝑥,𝑦,𝐶1, . . . , 𝐶𝑛 =0

Solución de una ED Al resolver una ecuación de n-ésimo orden 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦1, . . . , 𝑦𝑛 =0 en donde 𝑦(𝑛) significa 𝑑 𝑛 𝑦 𝑑𝑥 𝑛 se espera obtener una famillia n-paramétrica de soluciones 𝐺 𝑥,𝑦,𝐶1, . . . , 𝐶𝑛 =0

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

ED de Variables Separables Una ecuación diferencial de la forma: 𝐝𝐲 𝐝𝐱 = 𝐠 𝐱 𝐡 𝐲 es separable o tiene variables separables. Puede escribirse como: 𝐡 𝐲 𝐝𝐲 𝐝𝐱 =𝐠(𝐱)

Solución ED de Variables Separables 𝐡 𝐲 𝐝𝐲 𝐝𝐱 =𝐠 𝐱 𝐡 𝐲 𝐝𝐲 =𝐠 𝐱 𝐝𝐱 SOLUCIÓN: 𝐡 𝐲 𝐝𝐲 = 𝐠 𝐱 𝐝𝐱 + c

Solución ED de Variables Separables En una ecuación separable no es necesario usar dos constantes de integración ya que: 𝐡 𝐲 𝐝𝐲+𝐜𝟏 = 𝐠 𝐱 𝐝𝐱 + c 𝟐 𝐡 𝐲 𝐝𝐲 = 𝐠 𝐱 𝐝𝐱 + c 𝟐 −c𝟏 𝐡 𝐲 𝐝𝐲 = 𝐠 𝐱 𝐝𝐱 + c

𝐌 𝐭𝐱, 𝐭𝐲 =𝐭𝐧𝐌 𝐱,𝐲 y 𝐍 𝐭𝐱, 𝐭𝐲 =𝐭𝐧𝑵 𝐱,𝐲 ED Homogéneas (1) La ecuación en la forma diferencial: M 𝐱,𝐲 𝐝𝐱+𝐍 𝐱,𝐲 𝐝𝐲=𝟎 Si tiene la propiedad: 𝐌 𝐭𝐱, 𝐭𝐲 =𝐭𝐧𝐌 𝐱,𝐲 y 𝐍 𝐭𝐱, 𝐭𝐲 =𝐭𝐧𝑵 𝐱,𝐲 Entonces tiene coeficientes homogéneos o es una ecuación homogénea.

ED Homogéneas (2) 𝒇(𝒕𝒙,𝐭𝐲)=𝐭𝐧𝒇 𝐱,𝐲 Se dice que f 𝑡𝑥,𝑡𝑦 es una función homogénea de grado n, si para todo número real n: 𝒇(𝒕𝒙,𝐭𝐲)=𝐭𝐧𝒇 𝐱,𝐲

Ejemplos de ED Homogéneas (1) f 𝒙,𝒚 =𝒙 −𝟑 𝒙𝒚 +𝟓𝒚 f 𝑡𝑥,𝑡𝑦 = 𝑡𝑥 −3 𝑡𝑥 𝑡𝑦 +5 𝑡𝑦 =𝑡𝑥 − 3 𝑡2𝑥𝑦 +5𝑡𝑦 =𝑡[𝑥 − 3 𝑥𝑦 +5𝑦] =𝑡 𝑓(𝑥,𝑦) Función Homogénea de Grado uno

Ejemplos de ED Homogéneas (2) f 𝒙,𝒚 = 𝒙 𝟐𝒚 +𝟒

Ejemplos de ED Homogéneas (2) f 𝒙,𝒚 = 𝒙 𝟐𝒚 +𝟒 f 𝑥,𝑦 = 𝑡𝑥 2𝑡𝑦 +4 = 𝑥 2𝑦 +4 =𝑡0 𝑓(𝑥,𝑦) Función Homogénea de Grado cero

Ejemplos de ED Homogéneas (3) f 𝒙,𝒚 = 𝒙𝟑+ 𝒚𝟑 f 𝑡𝑥,𝑡𝑦 = 𝑡3𝑥3+𝑡3𝑦3

ED Homogéneas (3) Sumar una constante a una función destruye la homogeneidad a menos que se considere la función como homogénea de grado cero.

ED Homogéneas (4) 𝑓 𝑥,y =6xy3−x2y2 Función Homogénea de grado 4 También podemos determinar si una función es homogénea examinando el grado de cada término. 𝑓 𝑥,y =6xy3−x2y2 Función Homogénea de grado 4 𝑓 𝑥,y =x2 − y Función NO Homogénea

ED Homogéneas (5) Si f 𝒙,𝒚 es una función homogénea de grado n, se puede escribir: 𝒇(𝒙,𝐲)=𝐱𝐧𝒇 𝟏, 𝒚 𝒙 y 𝒇(𝒙,𝐲)=𝐲𝐧𝒇 𝒙 𝒚 , 𝟏 Donde 𝒇 𝟏, 𝒚 𝒙 y 𝒇 𝟏, 𝒚 𝒙 son ambas de grado cero.

ED Homogéneas (Ejemplo) Se observa que f 𝒙,𝒚 = x2 + 3xy + 2y es homogénea de grado 2. Por lo tanto: 𝒇(𝒙,𝐲)=𝐱𝟐[𝟏+𝟑 𝒚 𝒙 + 𝒚 𝒙 𝟐] =𝐱𝟐𝒇 𝟏, 𝒚 𝒙 𝒇(𝒙,𝐲)=𝐲𝟐[ 𝒙 𝒚 𝟐+𝟑 𝒙 𝒚 +1] = 𝐲𝐧𝒇 𝒙 𝒚 , 𝟏

Solución de ED Homogéneas (1) En la ecuación: M 𝐱,𝐲 𝐝𝐱+𝐍 𝐱,𝐲 𝐝𝐲=𝟎 Donde M y N tiene el mismo grado de homogeneidad, puede reducirse a una ED de variables separables usando cualquiera de las dos siguientes substituciones: 𝒚=𝒖𝒙 ó 𝒙=𝒗𝒚 Donde u y v son nuevas variables independientes

Solución de ED Homogéneas (2) Si elegimos 𝒚=𝒖𝒙, entonces: 𝑑𝑦=𝑢 𝑑𝑥+ 𝑥 𝑑𝑢 Por lo tanto: M 𝒙,𝒖𝒙 𝒅𝒙+𝑵 𝒙,𝒖𝒙 [𝒖 𝒅𝒙+ 𝒙 𝒅𝒖]=𝟎

Solución de ED Homogéneas (3) Por la homogeneidad de M y N es posible escribir: xnM 1,u dx+xnN 1,u [u dx+ x du]=0 O bien: [M 1,u +uN 1,u ]dx + xN(1,u) du=0 De lo cual resulta: 𝑑𝑥 𝑥 + 𝑁 1,𝑢 𝑑𝑢 𝑀 1,𝑢 +𝑢𝑁 1,𝑢 =0

Bibliografía Zill D.G., Ecuaciones diferenciales con aplicaciones, Grupo Editorial Iberoamérica, Segunda edición. Zill D.G., Ecuaciones diferenciales con aplicaciones, Grupo Editorial Iberoamérica, Octava edición Blanchard P., Hall G. R., Devaney R. L. , Ecuaciones Diferenciales, Edit. Thomson. Boyce, DiPrima, Ecuaciones Diferenciales con valores en la frontera, Editorial Limusa,, 4ª edición.