@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B1 Tema 3 * 4º ESO Opc B ECUACIONES Y SISTEMAS

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B2 Tema 3.4 * 4º ESO Opc B ECUACIONES EXPONENCIALES

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B3 Ecuaciones exponenciales Hay tres tipos de ecuaciones exponenciales que se pueden resolver sin necesidad de aplicar logaritmos: f(x) g(x) 1ºTienen iguales las bases:a = a Resolución: Se igualan los exponentes y se resuelve la nueva ecuación. f(x) g(x) k 2ºLas bases están relacionadas: a = b, donde a = b Resolución: Se sustituye una base y se resuelve la nueva ecuación, que tendrá ahora igualdad de bases. f(x) g(x) h(x) 3ºHay sumas o restas de potencias: a + b + c = 0 Resolución: Se aplican las propiedades de las potencias al objeto de conseguir un factor común de una potencia de igual base y exponente.

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B4 Ecuaciones exponenciales (I) Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales. x+3 2x+5 5 = 5 Al ser igual la base:x + 3 = 2x+5  3 – 5 = 2x – x, x = - 2 x – 3 x 2 – 5 3 = 3 Al ser igual la base:x – 3 = x 2 – 5  0 = x 2 – x – 2 Resolviendo la ecuación: 1 +/- V(1 + 8) 1 +/- 3 x = = = 2 y - 1 2

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B5 Ecuaciones exponenciales (II) Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales. 2x+3 2x+5 4 = 2 Al ser 4 = 2 2 2(2x+3) 2x+5 4x+6 2x+5 2 = 2  2 = 2 Al ser iguales las bases, deben ser iguales los exponentes: 4x+6 = 2x+5  4x-2x = 5-6  2x = -1  x = -1/2

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B6 Ecuaciones exponenciales (II) Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales. x x+30 6 = 1 Como 6 0 = 1, podemos poner: x x+30 6 = 6 0 Al ser iguales las bases, serán iguales los exponentes: x x+30 = 0 Resolviendo la ecuación, queda x = 2, x = 15

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B7 Ecuaciones exponenciales (III) Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales. 5 x + 5 x x-2 = 31 No se pueden sumar tal como están. Como en el exponente hay una diferencia, significa que proviene de división de potencias de igual base: 5 x 5 x 5 x = x x + 5 x = (25+5+1).5 x = x = Luego 5 x = 25  x = 2

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B8 Tema 3.3 * 4º ESO Opc B ECUACIONES LOGARÍTMICAS

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B9 Ecuaciones Logarítmicas (I) Resuelve la ecuación: log x - log (x-1) = log 3 Por la propiedad de la división de logaritmos: x log = log 3  x /(x -1) = 3  x = 3x – 3  3 = 2x  x = 1,5 x – 1 Resuelve la ecuación: log x + log (x - 1) = 3 Por las propiedades de la potencia y multiplicación de logaritmos: log x + log (x -1) = 3  log x. (x -1) = log 1000 x 2 - x = 1000  x 2 - x – 1000 = 0 Ecuación de segundo grado que resolveríamos: 1+/-√( ) 1+/-63,25 x1 = 32,125 x= = = 2 2 x2 = – 31,125, que no vale.

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B10 Ecuaciones Logarítmicas (II) Resuelve las ecuaciones: log 3 x - log 9 x = log 27 3 Hacemos un cambio de base: log 3 x log 3 x log = log 3 3 log 3 9 log 3 27 log 3 x log 3 x log = log 3 x - 3.log 3 x = 2.log log 3 x = 2  log 3 x 3 = 2  3 2 = x 3 Y por último: 9 = x 3  x = raíz cúbica de 9 = 2,08

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B11 Aplicación de logaritmos Resuelve la siguiente ecuación logarítmica. x+3 x 5 = 8 Al no ser iguales las bases ni los exponentes, se toman logaritmos: x+3 x Log 5 = Log 8 (x+3).Log 5 = x.Log 8 (x+3).0, =x.0, x.0, ,096910=x.0, ,096910=x.0, x.0, , = 0, x x = 2, / 0, x = 10,2729

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B12 Resuelve la siguiente ecuación logarítmica. x – 2 √x 3 = 5 Al no ser iguales las bases ni los exponentes, se toman logaritmos: x – 2 √x Log 3 = Log 5  (x – 2).Log 3 = √x.Log 5  (x-2).0, = √ x. 0, (x-2) = √ x. 1, Al ser ecuación radical, se eleva todo al cuadrado: x 2 -4x+4 = 2,1461.x  x 2 – 6,1461.x+4 = 0  Ecuación de 2º grado que resolvemos: 6,1461 +/- √ (37,7745 – 16) 6,15 +/- 4,67 10,82 / 2 = 5,41 x = = = 2 2 1,48 / 2 = 0,74 Y comprobamos con la calculadora que x = 0,74 no es válida Aplicación de logaritmos

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B13 Resuelve la siguiente ecuación logarítmica. x + 4 x 2 5 = 3 Al no ser iguales las bases ni los exponentes, se toman logaritmos: x + 4 x 2 Log 5 = Log 3  (x + 4).Log 5 = x 2.Log 3 (x + 4).0, = x 2. 0,  (x + 4).1,4650 = x 2 x 2 – 1,465 x – 5,86 = 0  Ecuación de 2º grado que resolvemos: 1,465 +/- √ (2, ,44) 1,465 +/- 5,06 6,525 / 2 = 3,2625 x = = = ,595 / 2 = - 1,7975 Y comprobamos con la calculadora que x = - 1,7975 no es válida Aplicación de logaritmos