Conceptos básicos de ángulos

Definición Un ángulo está formado por dos rayos o semirrectas, uno fijo y otro móvil que gira alrededor de un punto llamado vértice Al rayo fijo lo llamaremos lado inicial y al lado móvil lado terminal. Lado terminal vértice El ángulo se puede poner en un plano cartesiano con su vértice en el origen y su lado inicial que coincida con el eje positivo de las x Lado inicial En este caso se dice que el ángulo está en su posición normal.

Comenzaremos nuestro estudio de la trigonometría con la descripción de los ángulos y dos métodos para medirlos: en grados y radianes La medida de un ángulo en radianes es lo que nos permite definir funciones trigonométricas en conjuntos de números reales.

Medición en grados La medición de un ángulo en grados se basa en la asignación de 360° al ángulo formado por una rotación completa en sentido contrario a las manecillas del reloj Un ángulo de 1° es el que se forma por 1 360 de una rotación completa Si la rotación es contraria a las manecillas del reloj , la medida será POSITIVA; si es en el sentido de las manecillas del reloj, la medida será NEGATIVA.

El sistema sexagesimal divide el circulo en 360°.

Ángulo positivo y ángulo negativo Ángulos coterminales Cuando el lado terminal de un Ángulo coincide con el lado terminal de otro.

Ángulos y ángulos coterminales En el caso de un ángulo de 960° a) Ubicar el lado terminal y trazar el ángulo b) Determinar un ángulo coterminal entre 0° y 360°. c) Determinar un ángulo coterminal entre −360° 𝑦 0° Solución a) Primero se determina cuantas rotaciones completas se dan para formar este ángulo. Al dividir 960 entre 360 se obtiene un cociente de 2, y un residuo de 240; esto es 960=2 360 +240

Minutos y segundos Tradicionalmente las fracciones de grados se han medido en minutos y segundos, donde 1° = 60 minutos ( se escribe 60´) y 1´= 60 segundos (se escribe 60´´) . 1´= 1 60 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 1´´= 1 60 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜 𝑜 1 3600 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 Por ejemplo: un ángulo de 7 grados, 30minutos y 5 segundos se expresa así: 7°30´5´´

Ejemplo: Convierta: 𝑃𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 86.23°=86°13´48´´ 86.23° 𝑒𝑛 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠, 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑦 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 Como 0.23° representa 23 100 𝑑𝑒 1° y 1° = 60 ´, tenemos 86.23°=86°+0.23° =86°+(0.23)(60´) =86°+13.8´ Ahora bien, 13.8´=13´+0.8´, 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑟 0.8´𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 Puesto que 0.8´𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛 8 10 𝑑𝑒1´𝑦 1´=60´´, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 86|+13´+0.8´=86°+13´+(0.8)(60´´) =86°+13´+48´´ 𝑃𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 86.23°=86°13´48´´

En virtud de que 1°=60´, se desprende que 1´= 1 60 ° En virtud de que 1°=60´, se desprende que 1´= 1 60 ° . Del mismo modo, encontramos que 1´´= 1 60 = 1 3600 ° . Así tenemos 17°47´13´´=17°+47´+13´´ =17°+47 1 60 °+13 1 3600 ° =17°+0.7833°+0.0036° =𝟏𝟕.𝟕𝟖𝟔𝟗°

Medida en radianes En el cálculo , la unidad más cómoda para medir ángulos es el radián La medida de un ángulo en radianes se basa en la longitud de un arco del círculo unitario. En radianes es la misma convención que con la medida en grados: un ángulo formado por una rotación contraria a las manecillas del reloj se considera POSITIVO, mientras que un ángulo formado por una rotación en el sentido de las manecillas de reloj es NEGATIVO