Función de proporcionalidad inversa Tema 11.4 * 4º ESO Opc B Función de proporcionalidad inversa @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B DEFINICIÓN La Función de Proporcionalidad Inversa Viene dada por f(x) = k / x A veces también viene en forma implícita como x.y = k Se llama así porque a doble, triple, etc valor de x le corresponde la mitad, tercera parte, etc al valor de y. Es decir: La imagen es inversamente proporcional al valor que toma la variable. También son funciones de proporcionalidad inversa todas aquella funciones raciones de la forma f(x) = P(x) / Q(x) que tras efectuar la división de polinomios indicada quede de la forma: P(x) k f(x) = ------ = b + --------- , siendo el punto C(a, b) el centro de la hipérbola. Q(x) x – a @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Ejemplo_1 f (x) = 4 / x y Tabla de valores x y - 4 -1 - 3 - 4/3 - 2 - 2 -1 - 4 0 NO EXISTE 1 4 2 2 3 4/3 4 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Ejemplo_2 f (x) = - 4 / x y Tabla de valores x y - 4 1 - 3 4/3 - 2 2 -1 4 0 NO EXISTE 1 - 4 2 - 2 3 - 4/3 4 - 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B CARACTERÍSTICAS DOMINIO Será Dom f(x) =R – {0} , pues si x=0 la función no existe. RECORRIDO Será Img f(x) =R – {0} , pues y = f(x) nunca puede ser 0. CRECIMIENTO Si k > 0  La función es DECRECIENTE en todo su dominio. Si k < 0  La función es CRECIENTE en todo su dominio. CONTINUIDAD Es continua en todo su dominio. En x = 0 no existe, por lo que no podemos hablar de que sea continua o no. SIMETRÍA Tanto si k > 0 como si k < 0, vemos que es simétrica respecto del origen O(0,0), pues se cumple: f (x) = - f (- x) ASÍNTOTAS Tanto si k > 0 como si k < 0, vemos que los ejes de abscisas y de ordenadas son siempre dos rectas asíntotas. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B ASÍNTOTAS ASÍNTOTA VERTICAL En x=0 la función no existe. Sin embargo cuando y toma valores muy grandes, x tiende a cero, x 0, la gráfica tiende a pegarse con el eje de ordenadas. Decimos entonces que x=0 es una asíntota vertical. Tabla de valores x y 0 NO EXISTE 100 0,04 1000 0,004 10000 0,0004 100000 0,00004  oo  0 ASÍNTOTA HORIZONTAL Para valores muy grandes de x el valor de f (x) tiende a cero. y=0 x=0 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

TRASLACIÓN DE HIPÉRBOLAS TRASLACIÓN HORIZONTAL Sea una función de la forma y = k / x Si deseamos trasladar su gráfica horizontalmente “a” unidades, la función se convertirá en: k y = ---------- x – a Si a > 0 La hipérbola se desplaza a unidades a la DERECHA. La asíntota vertical será x = a y el centro el punto (a , 0) Si a < 0 La hipérbola se desplaza a unidades a la IZQUIERDA. La asíntota vertical será x = - a y el centro el punto (- a, 0) Nota importante: No confundir el que “a” sea un número negativo con el signo “ – “ de (x – a). @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Ejemplo_1 y Sea f(x) = 4 /( x + 2) Partimos de la función: f(x) = 4 / x Al convertirse x en x+4 se ha producido un desplazamiento horizontal de y=4/x de 2 unidades a la izquierda. Vemos que la asíntota vertical es ahora x=-2 Pues a=2 El centro es (- 2, 0) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x (-2, 0) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

TRASLACIÓN DE HIPÉRBOLAS TRASLACIÓN VERTICAL Sea una función de la forma y = k / x Si deseamos trasladar su gráfica verticalmente “b” unidades, la función se convertirá en: k k + b.x y = ----- + b = ----------- x x Si b > 0 La hipérbola se desplaza b unidades ARRIBA. La asíntota horizontal será y = b y el centro el punto (0, b) Si b < 0 La hipérbola se desplaza b unidades ABAJO. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Ejemplo_2 4 – 2.x Sea f(x) = ---------- x O sea: 4 f(x) = – 2 + ----- Partimos de la función: f(x) = 4 / x A todos los valores de x se les resta 2 unidades (b=-2) Hay un desplazamiento vertical de la gráfica original hacia abajo. Vemos que la asíntota horizontal es ahora y=-2 El centro es (- 2, 0) y x -3 -2 -1 0 1 2 3 (0, -2) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

TRASLACIÓN DE HIPÉRBOLAS TRASLACIÓN OBLICUA Sea una función de la forma y = k / x Si deseamos trasladar su gráfica de forma oblicua, o sea horizontalmente a unidades y verticalmente b unidades, la función se convertirá en: k k + b.x – b.a m.x + n y = --------- + b = ------------------  y = -------------- x – a x – a m´.x + n´ Que es la expresión general de estas hipérbolas. La asíntota horizontal será y = b La asíntota vertical será x = a El centro el punto (a, b) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Ejemplo_3 Partimos de la función: f(x) = 4 / x Si h = 2 y k = - 3 4 f(x) = -------- – 3 = x + 2 4 – 3.x - 6 - 3.x - 2 = ---------------- = ----------- x + 2 x + 2 Vemos que la asíntota horizontal es ahora y = -3 y la vertical es x = - 2 El centro es (- 2, - 3) y x -3 -2 -1 0 1 (-2, -3) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B REGLA GENERAL REGLA GENERAL PARA REPRESENTAR FUNCIONES DEL TIPO: m.x + n y = ------------ p.x + q (m/p).x + n/p Si p<>1 se divide todo entre p: y = ------------------- x + q/p Se efectúa la división de polinomios, quedando: k y = ---------- + b x – a Se representa gráficamente y = k / x Y finalmente se traslada la gráfica cuyo centro será el punto P (a , b) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Ejemplo Representar la función: 8.x - 4 f(x) = ---------- 2.x + 4 Se divide todo entre 2 4.x – 2 f(x)= ----------- x + 2 Se efectúa la división, quedando: - 10 f(x) = 4 + --------- Se representa y = - 10 / x El centro es (- 2, 4) y (-2, 4) x -3 -2 -1 0 1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Otro ejemplo Representar la función: x f(x) = ---------- x + 2 Se efectúa la división, quedando: - 2 f(x) = 1 + --------- Se representa y = - 2 / x El centro debe pasar del (0,0) al punto (- 2, 4), pues ha habido una traslación oblicua con a=2 y b=1 y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B