bb

Representación gráfica FUNCIÓN CUADRÁTICA Una función cuadrática es una función f de la forma: Donde a, b, c son números reales y a≠0 Función cuadrática simple En particular, si se toma a=1, b=0, c=0 x f(x) f 1/2 1/4 Representación gráfica -1/2 1/4 1 1 -1 1 2 4 -2 4 bb

Vértice ( 0, 0 ), punto más bajo o más alto de la parábola Función cuadrática simple Análisis de la gráfica de Dominio: Rango: La gráfica es simétrica con respecto al eje y Función par Ecuación del eje de simetría Vértice ( 0, 0 ), punto más bajo o más alto de la parábola bb

La parábola abre hacia arriba (cóncava hacia arriba) Función cuadrática simple Continuación análisis de la gráfica de La parábola abre hacia arriba (cóncava hacia arriba) Creciente: Decreciente: bb

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS bb

Función cuadrática simple Contracción Vertical bb

Función cuadrática simple Dilatación Vertical bb

Función cuadrática simple Reflexión sobre el eje x: La gráfica es una parábola que abre hacia abajo (cóncava hacia abajo) Dominio: Rango: La gráfica es simétrica con respecto al eje y Ecuación del eje de simetría: Creciente: Vértice ( 0, 0 ) Decreciente: Punto máximo ( 0, 0 ) bb

Función cuadrática simple Traslación horizontal: Si h = 2, el vértice de la parábola se traslada 2 unidades a la derecha. Ecuación eje simetría: x= 2 Intersección x ( 2, 0 ) Intersección y ( 0, 4 ) Creciente: (2,∞) Decreciente: (-∞, 2) Si h = -1, el vértice se traslada 1 unidad a la izquierda. Ecuación eje simetría: x= -1 Intersección x (-1, 0 ) Intersección y ( 0, 1 ) Creciente: (-1,∞) Decreciente: (-∞, -1) Vértice (2,0) Vértice (-1,0) bb

Función cuadrática simple Traslación Vertical: Se observa que para k=2, el vértice de la parábola se traslada dos unidades hacia arriba. Para k =- 4, el vértice de la parábola se traslada 4 unidades hacia abajo 2 El rango y el punto mínimo cambian 4 Vértice (0, 2) Rango: Vértice (0, -4) Rango: bb

Otras expresiones para la función cuadrática Forma estándar ó canónica bb

FUNCIÓN CUADRÁTICA Resumiendo: A partir de la transformación de la función simple: se obtienen parábolas de la forma: En donde: Dominio: (-∞, ∞) a<0 Rango: Si a>0 Vértice: Desplazamiento horizontal: h Desplazamiento vertical: k Contracción o dilatación vertical: a bb

Ejemplo 1: Trazar la función a partir de la función bb

Ejemplo 1:continuación bb

Ejemplo 1:continuación Dominio: Rango: Ecuación eje de simetría: Punto mínimo: (1, -8) Creciente: ( 1, ∞ ) Decreciente: ( -∞, 1 ) Eje de simetría Vértice (1, -8) h k bb

Ejemplo 1:continuación Intersección y C(3,0) B(-1,0) (0,-6) Intersecciones x A(0, -6) (-1, 0) y (3, 0) bb

Ejemplo 1:continuación bb

Determine la ecuación de la parábola cuya gráfica es: Ejemplo 2: Determine la ecuación de la parábola cuya gráfica es: Vértice (2,3) Intersecto eje y (0, -5) Ecuación eje de simetría Con esta información se encuentra el valor de a bb

es otra expresión algebraica de una ecuación cuadrática-Parábola_ Cuadrando el binomio, podemos expresar la función dada de la forma: Vértice: bb

Resumiendo: Dada la función: bb

Ejemplo 3: bb

Ejemplo 3: (continuación) Intersecciones con el eje x : Se hace f (x) = 0, esto es: bb

Ejemplo 3: (continuación) Ecuación eje simetría bb

Ejemplo 4: Solución En la ecuación: bb

Ejemplo 4 (continuación) ( 6, 14 ) Deberán producirse 6 unidades del artículo para que el costo mínimo promedio por unidad sea de US$14 bb

Producto de factores lineales Los ceros de la función cuadrática, llamados también raíces son los valores de “x” cuya imagen tienen valor cero. Como es cuadrática tiene a lo sumo dos ceros. Si los denominamos x1 y x2 , podemos utilizarlos para expresar la función como producto de factores lineales. bb

Ceros de la función cuadrática Se dijo que la función cuadrática tenía a lo sumo dos ceros. Estos ceros son de la forma (x, 0), por lo tanto se calculan haciendo a f (x) igual a cero. bb

bb

Encontrar gráficamente el conjunto solución de: Ejemplo 5: Encontrar gráficamente el conjunto solución de: Solución vamos a resolver f (x) > g(x) f (x) es una parábola cóncava hacia arriba con vértice en ( -2, -1 ) Sea Sea g (x) es una parábola cóncava hacia abajo con intersecto con el eje y (0, 3) bb

Ejemplo 5: (continuación) Su representación gráfica es: (0, 3) Se observa que las dos gráficas se cortan en los puntos: (-2, -1) y ( 0, 3). -2 También vemos que f (x) > g (x) en los siguientes intervalos: (-2, -1) bb

La capacidad de flujo será máxima cuando el área transversal del Ejemplo 5: Un latonero dispone de una lámina rectangular de aluminio de 16 pulgadas de ancho y debe construir una canal doblando dos lados 90° hacia arriba. Cuántas pulgadas deberán doblarse para que la canal tenga la mayor área transversal y con ello permita el mayor flujo de agua? x = cantidad de pulgadas dobladas A(x) = área transversal en función de la cantidad doblada La capacidad de flujo será máxima cuando el área transversal del rectángulo sea máxima. bb

Ejemplo 5:(continuación) Revisemos la función: x=4, es el doblés que hace que la sección transversal sea la mayor. Parábola El área máxima se encuentra en el vértice. El área máxima son 32 pul² bb

Ejemplo 6 bb

Ejemplo 6: (Continuación) Al resolver la ecuación cuadrática se obtiene: ó Se descarta este valor ; no tiene sentido una distancia negativa. bb

Ejemplo 6: (Continuación) El valor para x lo sustituimos en cualquiera de las dos ecuaciones para encontrar el valor de y (altura del impacto) Interpretación: El proyectil recorrió una distancia horizontal aproximada de 1.3 kilómetros e impactó en la montaña a una altura aproximada de 1.8 kilómetros. bb

bb

No es función par ni función impar, porque los elementos de Dominio: Rango: Es creciente en todo su dominio No es función par ni función impar, porque los elementos de su dominio no satisfacen ninguna de las dos definiciones Intersecto x: (0,0) Intersecto y: (0,0) bb

Transformación de funciones Generalidades: Si se tiene una función f , la función: Expresada como transformación de f(x): Se tiene: Dilatación, contracción horizontal y reflexión con eje y= b Desplazamiento horizontal: c/b Dilatación, contracción vertical y reflexión sobre el eje x= a Desplazamiento vertical: d bb

Función Raíz Cuadrada Pasos a seguir: bb

Función Raíz Cuadrada bb

Función Raíz Cuadrada bb