Límites y continuidad

CONCEPTO INTUITIVO DE LIMITE Analicemos la función: La función está definida para toda x diferente de 1. Podemos simplificar la función de la siguiente manera: x  1 x y 1 –1 y = x + 1 2 x y 1 –1 2

Valores de x menores y mayores que 1 0.9 1.1 0.99 1.01 0.999 1.001 0.999999 1.000001 1.9 2.1 1.99 2.01 1.999 2.001 1.999999 2.000001 x  1 Decimos que f(x) está muy cercano a 2 conforme x se aproxima a 1.

Definición informal de límite Sea f(x) definida en un intervalo alrededor de x0, posiblemente excepto en x0. Si f(x) se acerca de manera arbitraria a L para toda x suficientemente cerca de x0, se dice que f se aproxima al límite L conforme x se aproxima a x0, y se escribe x y 1 –1 2 x y 1 –1 2 x y 1 –1 2

PROPIEDADES DE LIMITES

Límites de Polinomios Los límites de polinomios pueden ser calculados por sustitución Si P(x) = anxn + an–1 xn–1 +...+ a0, entonces limxc P(x) = P(c) = ancn + an–1 cn–1 +...+ a0 Los límites de las funciones racionales pueden calcularse por sustitución si el límite del denominador no es cero. Si P(x) y Q(x) son polinomios y Q(c)  0, entonces limxc P(x) / Q(x) = P(c) / Q(c)

Ejemplos

Definición de límite Sea f(x) definido sobre un intervalo abierto alrededor de x0, excepto posiblemente en x0. Decimos que f(x) tiende al límite L cuando x tiende a x0 y escribimos si, para cada número e > 0, existe un número correspondiente d > 0 tal que para toda x 0 < | x – x0 | < d  | f(x) – L | < e

Límites Laterales Sea f(x) una función definida en un intervalo (a, b) donde a < b. Si f(x) está arbitrariamente cerca de L cuando x tiende a a desde dentro del intervalo, decimos que L es el límite por la derecha de f en a, y escribimos Sea f(x) una función definida en un intervalo (c, a) donde a < b. Si f(x) está arbitrariamente cerca de M cuando x tiende a a desde dentro del intervalo, decimos que M es el límite por la izquierda de f en a, y escribimos

Gráficamente:

UNICIDAD DEL LIMITE Una función f(x) tiene un limite cuando x tiende a “a” si y sólo si tiene límites por la derecha y por la izquierda en ese punto y éstos son iguales: Limx  a f (x) = L  Limx  a– f (x) = L y Limx  a+ f (x) = L

Ejemplo y y = f (x) 2 1 x 1 2 3 4

Límites Infinitos Si el valor de una función crece rebasando el valor de cualquier real positivo, se dice que la función tiende a un límite infinito positivo. Similarmente si el valor de la función disminuye rebasando el valor de cualquier real negativo, se dice que la función tiende a un límite infinito negativo.

Ejemplo 1: IMPORTANTE: y y = 1/x x

Ejemplo 2: y y = 1/(x – 1) x

Ejemplo 3: y x

Ejemplo 4: y x

Ejemplo 5:

Límites de funciones racionales

Límites al Infinito Si el valor de una función crece rebasando el valor de cualquier real positivo, se dice que la función tiende a un límite infinito positivo.

Ejemplos:

LIMITES TRIGONOMETRICOS

Continuidad

Ejemplos y y = f(x) y = f(x) 1 1 x x y y 2 y = f(x) 1 y = f(x) 1 x x

Tipos de discontinuidades Discontinuidad escalonada Discontinuidad oscilante Discontinuidad infinita Discontinuidad removible

Extensión continua en un punto Para una función racional f(x), si f(c ) no está definida, pero limxc f(c ) = L, se puede definir una función F(x) usando la regla f(x) si x está en el dominio de f F(x) = L si x = c Ejemplo: Se puede simplificar en: Que es continua en x = 2