TEOREMAS DE SEMEJANZA ESPAD III * TC 23

TRIÁNGULOS SEMEJANTES Dos triángulos serán semejantes si presentan igualdad de formas pero distintas medidas en los lados. En otras palabras, si sus lados son proporcionales y sus ángulos correspondientes iguales. La razón de proporcionalidad de sus lados o razón de semejanza es: a’ b’ c’ r = ---- = ---- = ----- a b c a b a’ b’ c c’

TRIÁNGULOS SEMEJANTES No siempre vamos a saber si dos triángulos tienen los tres lados proporcionales y los tres ángulos correspondientes iguales. Por ello se tienen tres criterios para su identificación. CRITERIOS: 1.- Tienen los lados proporcionales. a=2,5 b=2 a=5 La razón de proporcionalidad, en el ejemplo, es: 5 4 3 r = ---- = ---- = ------ = 2 2,5 2 1,5 b=4 c=1,5 c=3

Dos triángulos serán semejantes si : 2.- Tienen dos ángulos iguales. Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, el tercer ángulo también será igual, pues siempre: A+B+C = 180º C=180º - A – B A=70º B=80º A=70º B=80º

Dos triángulos serán semejantes si : 3.- Tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido vale igual. En el ejemplo de la figura ambos triángulos son rectángulos. Pero sirve el criterio de semejanza para cualquier tipo de triángulos. b=2 A=90º b=4 c=1,5 A=90º c=3

POLÍGONOS SEMEJANTES Todo polígono se puede dividir en triángulos. Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos iguales y sus lados son proporcionales. Dos polígonos serán semejantes si tienen los lados correspondientes proporcionales y los ángulos correspondientes iguales. a b c d --- = --- = --- = --- = r a’ b’ c’ d’ A=A’ , B=B’ , C=C’ , D=D’ A c D d b B a C A’ c’ D’ d’ b’ B’ a’ C’

TEOREMA DE LA ALTURA h TEOREMA DE LA ALTURA En un triángulo rectángulo el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa coincide con el producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. Los triángulos ABC y ABH son semejantes por tener dos ángulos iguales, el de 90º y el ángulo B que comparten. Asimismo los triángulos ABC y AHC son semejantes por tener dos ángulos iguales, el de 90º y el ángulo C que comparten. A Por tanto los triángulos ABH y AHC son semejantes. Se cumplirá pues el Teorema de Tales, al ser semejantes los dos triángulos resaltados: h n ---- = -----  h2 = m.n m h h H m n B a C

TEOREMA DE LA ALTURA h Ejemplo 1 En un triángulo rectángulo la altura corta a la hipotenusa en dos segmentos de 9 y 4 cm de longitud. Hallar la medida de la altura y de los catetos del triángulo rectángulo. Por el Teorema de la altura: h2 = m.n  h2 = 4.9  h2 = 36  h=6 Por el Teorema de Pitágoras: c2 = m2 + h2  c2 = 42 + 62  c2 = 52 b2 = n2 + h2  b2 = 92 + 62  b2 = 117 A c b h m=4 n=9 B C a h = 6 cm c=√52=√4.13=2.√13 cm b=√117=√9.13=3.√13 cm

TEOREMA DE LA ALTURA h=3 Ejemplo 2 En un triángulo rectángulo la altura, de 3 cm, corta a la hipotenusa en dos segmentos, uno de los cuales mide 1 cm. Hallar el otro segmento y los catetos del triángulo rectángulo. Por el Teorema de la altura: h2 = m.n  32 = 1.n  9 = n Por el Teorema de Pitágoras: c2 = m2 + h2  c2 = 12 + 32  c2 = 10 b2 = n2 + h2  b2 = 92 + 32  b2 = 90 A c b h=3 m=1 n B C a n = 9 cm c=√10 cm b=√90 =√9.10=3.√10 cm

TEOREMA DEL CATETO h TEOREMA DEL CATETO En un triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre ella. Si el cateto a considerar es “c”, entonces “m” es la proyección de “c” sobre la hipotenusa “a”. Si el cateto a considerar es “b”, entonces “n” es la proyección de “b” sobre la hipotenusa “a”. A Por tanto podemos escribir la proporción: m c ---- = -----  c2 = a.m c a E igualmente: n b ---- = -----  b2 = a.n b a b c h H m n B a C

TEOREMA DEL CATETO h Ejemplo 1 En un triángulo rectángulo la proyección del cateto c sobre la hipotenusa, de 9 cm de longitud, mide 4 cm. Hallar los dos catetos y la altura. Por el Teorema del cateto: c2 = m.a  c2 = 4.9  c2 = 36  c=6 La otra proyección será: a=m+n  n = a – m = 9 – 4 = 5 cm b2 = n.a  b2 = 5.9  b2 = 45  b=3.√5 cm Por el Teorema de la altura: h2 = m.n  h2 = 4.5  h2 = 20  h=2.√5 cm A c b h m=4 n B C a=9

TEOREMA DEL CATETO h Ejemplo 2 En un triángulo rectángulo el cateto b mide 6 cm y la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa mide 4 cm. Hallar la hipotenusa, el otro cateto y la altura. Por el Teorema del cateto: b2 = n.a  62 = 4.a  36 = 4.a  a=9 La otra proyección será: a=m+n  m = a – n = 9 – 4 = 5 cm c2 = m.a  c2 = 5.9  c2 = 45  c=3.√5 cm Por el Teorema de la altura: h2 = m.n  h2 = 4.5  h2 = 20  h=2.√5 cm A c b=6 h m n=4 B C a