POSICIONES RELATIVAS Y DISTANCIAS DÍA 23 * 1º BAD CT POSICIONES RELATIVAS Y DISTANCIAS @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS Sea r: A.x + B.y + C = 0  r: y = m.x + n Sea s: A’.x + B’.y + C’ = 0  s: y = m’.x + n’ Dos rectas serán PARALELAS si tienen la misma inclinación o pendiente: m = m’  A / A’ = B / B’ <> C / C’ Dos rectas serán COINCIDENTES si tienen la misma pendiente y la misma ordenada en el origen: m = m’ y n = n’  A / A’ = B / B’ = C / C’ Dos rectas serán SECANTES si NO tienen la misma pendiente. m <> m’  A / A’ <> B / B’ @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT CASO PARTICULAR DE RECTAS SECANTES Dos rectas serán PERPENDICULARES si cumplen la condición: m = - 1 / m’  A.A’ = - B. B’ s r r s r s @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplo 1 Hallar la ecuación de la recta s, que pasa por el punto A’(3, 4) y que es paralela a la recta r cuya ecuación continua es: x - 4 y + 5 r: -------- = -------- 3 2 De la ecuación dada obtenemos su vector director: v=(3,2) Si dos rectas son paralelas, el vector director es el mismo. Luego hay que hallar la ecuación de la recta que pasa por A’(3, 4) y v=(3, 2) y - 4 = 2/3.( x – 3 )  3.y - 12 = 2.x – 6  s: 2.x – 3.y + 6 = 0 Ejemplo 2 Hallar la ecuación de la recta s, que pasa por A’(-2, 5) y que es paralela a la recta r: y = 3.x - 4 En la ecuación general dada: m = 3 La pendiente m’ de la recta s es la misma al ser paralelas: m’ = m = 3 Por la ecuación punto-pendiente: y - 5 = 3.( x + 2 )  y - 5 = 3.x + 6  s: 3.x – y + 11 = 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplo 3 Hallar la ecuación de la recta s, que pasa por el punto A’(- 3, 2) y es paralela a la recta r cuya ecuación general es: r: 5.x – 4.y + 5 = 0 Despejamos y en la ecuación dada: y = (5.x + 5) / 4 = (5/4).x + (5/4)  De donde m = 5/4 Al ser paralelas: m’ = m = 5/4 Por la ecuación punto-pendiente: y - 2 = (5/4).( x + 3 )  4.y - 8 = 5.x + 15  s: 5.x – 4.y + 23 = 0 Ejemplo 4 Hallar la ecuación de la recta s, que pasa por A’(1, 1) y que es perpendicular a la recta r: y = 3.x - 4 En la ecuación general dada: m = 3 La pendiente m’ de la recta s es: m’ = - 1 / m = - 1 / 3 y - 1 = (- 1/3).( x - 1)  3.y - 3 = - x + 1  s: x + 3.y – 4 = 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplo 5 Hallar la ecuación de la recta s, que pasa por el punto O(0, 0) y es perpendicular a la recta r cuya ecuación general es: r: 5.x – 4.y + 5 = 0 Despejamos y en la ecuación dada: y = (5.x + 5) / 4 = (5/4).x + (5/4)  De donde m = 5/4 Al ser perpendiculares: m’ = - 1 / m = - 1 / (5/4) = - 4 / 5 Por la ecuación punto-pendiente: y - 0 = (- 4 / 5).( x - 0 )  5.y = - 4.x  s: 4.x + 5.y = 0 Ejemplo 6 Hallar la ecuación de la recta s, que pasa por A’( - 2, 7) y que es perpendicular a la recta r: (x, y) = (3, - 4 ) + t.(- 7, 2) En la ecuación vectorial dada: v=(- 7, 2 )  m = b/a = 2/(-7) = - 7 / 2 La pendiente m’ de la recta s es: m’ = - 1 / m = - 1 / (- 7 / 2) = 2 / 7 y - 7 = (3/7).( x + 2)  7.y - 49 = 3.x + 6  s: 3.x – 7.y + 55 = 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

DISTANCIA DE PUNTO A RECTA Dado un punto P y una recta r se entiende por distancia del punto P a la recta r la mínima distancia del punto P a cualquier punto de la recta. Esa mínima distancia se obtiene en la perpendicular a la recta desde el punto P. Sea el punto P(a, b) y la recta r: Ax+By+C=0 El vector v(A, B) es perpendicular a la recta y el punto Q(xo, yo) pertenece a ella. El producto escalar entre v y QP es: v.QP=|v|.|QP|,cos α Como |QP|,cos α = d , tenemos: (A,B).(xo – a, yo – b)=|v|.d Axo – Aa + Byo – Bb = √(A2+B2).d Y despejando d: Axo + Byo – (Aa + Bb) d=------------------------------- , quedando: √(A2+B2) |Axo + Byo + C| d = ----------------------- P(a,b) QP α d Q v r @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT EJEMPLO 1 Hallar la distancia del punto P(1, - 2) a la recta r: x+y – 7 = 0 Sabemos que: |Axo + Byo + C| d = ----------------------- √(A2+B2) Luego: |1.1 + 1.(-2) – 7| |- 8| 8. √2 d = ----------------------- = ------- = ---------- = 4.√2 √(12+12) √2 2 EJEMPLO 2 La distancia del punto P(4, - 3) a la recta r: 3x+4y – p = 0 vale 5.Hallar p |3.4 + 4.(- 3) – p| |12 – 12 – p| 5 = ----------------------- = ------------------ ; | - p| = 25 √(32+42) 5 Solución: p = 25 y p = - 25 ,, valen ambas soluciones Hay dos rectas que cumplen los requisitos: r: 3x+4y – 25 = 0 y r’: 3x+4y + 25 = 0 r d=5 d=5 r’ @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

DISTANCIA ENTRE RECTAS Observando el dibujo vemos que la distancia entre dos rectas paralelas es la diferencia de distancias del origen de coordenadas a ambas. Sea una r: Ax + By + C = 0 y la otra s: Ax+By+C’=0 Las distancias del O(0,0) a cada una de ellas será: |A.0 + B.0 + C| |C| d1=--------------------- = ------------ y √(A2+B2) √(A2+B2) |A.0 + B.0 + C’| |C’| d2 = --------------------- = ---------- √(A2+B2) √(A2+B2) La distancia entre ambas será: |C – C’| d = --------------- √(A2+B2) s d r @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT EJEMPLO 1 Hallar la distancia entre las rectas r: 3x – 4y + 5 = 0 y s: 3x – 4y – 5 = 0 |C – C’| 5 – (– 5) 10 d = --------------- = ------------- = ------ = 2 √(A2+B2) √(32+42) 5 EJEMPLO 2 Hallar la distancia entre las rectas r: 3x + 7 = 0 y s: 3x + 4 = 0 |C – C’| 7 – 4 3 d = --------------- = ------------- = ----- = 1 √(A2+B2) √(32+02) 3 EJEMPLO 3 Sean las rectas r: x + 7y – 5 = 0 y s: x + 7y + p = 0 Hallar p para que la distancia entre ambas sea d= 5 |C – C’| p – (– 5) p+5 d = --------------- ; 5 = ------------- = ----- ; p+5 = 5. 5√2  p = 25.√2 – 5 √(A2+B2) √(12+72) √50 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT