OPERACIONES CON FRACCIONES PROFA. MARÍA DE LOURDES TRIANA

3 1 4 1 4 4 4 Cuando en una fracción tenemos los denominadores OPERACIONES DE FRACCIONES. PASOS A SEGUIR. SUMA DE FRACCIONES. Cuando en una fracción tenemos los denominadores del mismo valor se repiten. 3 1 4 1 = = 4 4 + 4 A los numeradores se les hace una simple suma. Para finalizar la fracción se va a dividir el numerador con el denominador, o simplemente se reducen si es posible.

*Numerador: Es el numero que indica que cantidad de partes iguales se deben considerar de una unidad, se encuentra arriba de la raya. *Denominador: Es el numero que indica en cuantas partes iguales se divide una unidad o un todo en cuantas se encuentran de bajo de la raya. *Simplificar la fracción: Se le llama así al obtener una nueva fracción equivalente a la primera, para calcularlo se hace el máximo común divisor.

OPERACIONES DE FRACCIONES. PASOS A SEGUIR. SUMA DE FRACCIONES CON DENOMINADORES MONOMIOS. Cuando en una fracción tenemos los denominadores de diferentes cantidades le calculamos el m.c.m. (mínimo común múltiplo). x-2 3x+2 + = 4 6 12 El resultado del m.c.m se va a dividir por cada uno de los denominadores. 4 6 2 2 3 2 1 3 3 1 12 El resultado de cada uno de los denominadores se va a multiplicar por cada uno de los numeradores. 3(x-2) + 2(3x+2) = 12 3x-6 + 6x+4 = 12

El mínimo común múltiplo (m. c. m *El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos números: Es el menor de los múltiplos no nulos comunes a dichos números. Para calcular el m.c.m. de 2 o mas números se utiliza el método de descomposición en factores primos, como se acaba de hacer en el ejemplo anterior.

OPERACIONES DE FRACCIONES. PASOS A SEGUIR. Continuación del ejemplo anterior. Los términos semejantes del numerador se van a reducir. 3x-6 + 6x+4 9x -2 = = 12 12 3x+6x= 9x -6+4= -2 Así se finaliza la fracción. 9x-2 12 =

* Términos semejantes: Son aquellos que tienen la misma parte literal afectada por los mismos exponentes.

1 1_ _1_ 3x+3 2x-2 x -1 3x+3= 3(x+1) 2x -2= 2(x -1) x -1= (x+1) (x-1) OPERACIONES DE FRACCIONES. PASOS A SEGUIR. SUMA DE FRACCIONES CON DENOMINADORES COMPUESTOS. Cuando en una fracción tenemos los denominadores de diferentes cantidades le calculamos el m.c.m. Pero factorizando los binomios. 1 1_ _1_ + + = 3x+3 2x-2 x -1 Factorizamos y después multiplicamos verticalmente los que están afuera del paréntesis. Reducimos los términos semejantes. 3x+3= 3(x+1) 2x -2= 2(x -1) x -1= (x+1) (x-1) 6(x+1) (x-1) 1 1_ _1_ + + = _____1____ 6(x+1) (x-1) Como m.c.m. nos queda 3x+3 2x-2 x -1

*Binomios: Es el que consta de dos términos o también la suma de dos monomios. *Factorizar. Es expresar como la multiplicación de dos o mas números de varias formas.

2(x-1)+3(x+1)+6 6(x+1) (x-1) 2x-2+3x+3+6_ 6(x+1) (x-1) 2x-2+3x+3+6_ OPERACIONES DE FRACCIONES. PASOS A SEGUIR. continuación del ejemplo anterior. El resultado del m.c.m se va a dividir por cada uno de los denominadores nada mas el que esta afuera del paréntesis. Por la ley de los signos se pone lo contrario. 2(x-1)+3(x+1)+6 = 6(x+1) (x-1) 2x-2+3x+3+6_ = 6(x+1) (x-1) Se multiplica el cociente con sus respectivos numeradores. 2x-2+3x+3+6_ = 6(x+1) (x-1) ___5x+7___ Se reducen términos semejantes. = 6(x+1) (x-1) ___5x+7___ 6(x+1) (x-1) Finalmente nos queda.

*Monomio: Es toda expresión algebraica en la que solo aparece la operación de multiplicar *Cociente: Es el resultado de la división.

10 5 5 5 8 8 8 8 Cuando en una fracción tenemos los denominadores OPERACIONES DE FRACCIONES. PASOS A SEGUIR. RESTA DE FRACCIONES. Cuando en una fracción tenemos los denominadores del mismo valor se repiten. 10 5 5 5 8 = = 8 8 - 8 A los numeradores se les hace una simple resta. Para finalizar simplemente se reduce si es posible.

x-3 x+2 8 4 8 4 8 4 1 2 2 1 8 2(x-3) – 1 (x+2) 8 2x-6 – x-2 x-8 8 8 OPERACIONES DE FRACCIONES. PASOS A SEGUIR. RESTA DE FRACCIONES CON DENOMINADORES MONOMIOS. Cuando en una fracción tenemos los denominadores de diferentes cantidades le calculamos el m.c.m. x-3 x+2 - 8 4 8 = El resultado del m.c.m se va a dividir por cada uno de los denominadores. 4 8 4 1 2 2 1 8 Se multiplican los cocientes con sus respecti- vos numeradores. Recordando la ley de los signos. 2(x-3) – 1 (x+2) = 8 2x-6 – x-2 x-8 = = 8 8 Se reducen los términos semejantes.

*Ley de los signos (+) (+)=+ (- ) (- )=+ (+) (- )=- (- ) (+)=- OPERACIONES DE FRACCIONES. PASOS A SEGUIR. Continuación del ejemplo anterior. Finalmente dividimos o reducimos si es posible y nos queda. x-8 8 *Ley de los signos (+) (+)=+ (- ) (- )=+ (+) (- )=- (- ) (+)=-

4x +1 (x+1) x+3 2x -8 x +4x+4 x-2 2(x+2) (x-2) 4x +2 (x+1) x+3 OPERACIONES DE FRACCIONES. PASOS A SEGUIR. RESTA DE FRACCIONES CON DENOMINADORES COMPUESTOS. Cuando en una fracción tenemos los denominadores de diferentes cantidades le calculamos el m.c.m. Pero factorizando los binomios. Y eliminamos 4x +1 (x+1) x+3 - - = 2x -8 x +4x+4 x-2 Factorizamos y después multiplicamos verticalmente los que están afuera del paréntesis. Reducimos los términos semejantes. 2x +8= 2(x -4)=2(x+2) (x-2) x +4x+4= (x +2) x -2 = (x-2) 2(x+2) (x-2) 4x +2 (x+1) x+3 = ___1_____ 2(x+2) (x-2) Lo que nos queda del m.c.m. se divide por cada uno de los denominadores. 2x -8 x +4x+4 x-2

2(x+2) (x-2) 2(x+2) (x-2) 2(x+2) (x-2) OPERACIONES DE FRACCIONES. PASOS A SEGUIR. continuación del ejemplo anterior. Se multiplica el cociente con sus respectivos numeradores. (x+2)(4x -1)-2(x-2)(x+1)-2(x+2) (x+3) 2(x+2) (x-2) Se realizan los binomios al Cuadrado. Pero nunca el del m.c.m. (x+2) (4x -1) - 2(x-2) (x +2x+1) -2(x +4x+4) (x+3) = 2(x+2) (x-2) Se multiplican los binomios, teniendo en cuenta la ley de los signos. 4x +8x – x-2-2(x -3x-2) -2 (x +7x +16x+12) = 2(x+2) (x-2) Se reducen términos semejantes. 4x +8x – x-2-2x +6x+4 -2x - 14x -32x-24 = 2(x+2) (x-2) Para finalizar podemos multiplicar los numeradores por -1 para que nos den positivos -6x -27x-22_ 6x +27x+22_ = (-1) = 2(x+2) (x-2) 2(x+2) (x-2)

1 1 _a +b_ a – ab ab a b -ab ab (a+b)(a-b) Cuando en una fracción OPERACIONES DE FRACCIONES. PASOS A SEGUIR. SUMA Y RESTA COMBINADAS DE FRACCIONES. Cuando en una fracción tenemos los denominadores de diferentes cantidades le calculamos el m.c.m. Pero factorizando los binomios. Y eliminamos 1 1 _a +b_ = - - a – ab ab a b -ab a – ab = a (a-b) ab = ab a b –ab=ab (a – b )=ab (a+b)(a-b) ab (a+b)(a-b) El m.c.m. se divide por cada uno de los denominadores. 1 1 _a +b_ ____1_____ ab(a+b)(a-b) - - = a – ab ab a b -ab

ab (a+b)(a-b) ab (a+b)(a-b) ab (a+b)(a-b) ab (a+b)(a-b) OPERACIONES DE FRACCIONES. PASOS A SEGUIR. continuación del ejemplo anterior. Se multiplica el cociente con sus respectivos numeradores. b(a+b)+(a+b)(a-b)-(a +b) ab (a+b)(a-b) Se multiplican los binomios. b(a+b)+(a+b)(a-b)-(a +b) = ab (a+b)(a-b) Se reducen términos semejantes. ab+b +a –b –a -b = ab (a+b)(a-b) Se factoriza el polinomio, y se eliminan los términos semejantes. ____ ab-b_____ = ab (a+b)(a-b) _ b(a-b)__ __ 1___ ab(a+b) = = Finalmente nos queda. ab (a+b)(a-b)

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES. OPERACIONES DE FRACCIONES. PASOS A SEGUIR. MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES. Se multiplican todos los numeradores si olvidar la ley de los signos, así como también los denomidores. (5)(-3)(-1) (8)(4)(5) 5 3 1 = 8 4 5 x x Para finalizar simplemente se reduce si es posible. Como en este caso, tiene que ser el mismo numero que divida el numerador y el denominador. 15_ 160 3_ 32 = = 15/5= 3 160/5= 32 Así queda.

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES. OPERACIONES DE FRACCIONES. PASOS A SEGUIR. MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES. Se multiplican todos los numeradores si olvidar la ley de los signos, así como también los denomidores. (2a)(6b) (6b)(4a) 2a 6b = 6b 4a x Para finalizar simplemente se reduce si es posible. Como en este caso, tiene que ser el mismo numero que divida el numerador y el denominador. 12ab_ 24ab 1ab 2 = = 12/12= 1 24/12= 2 Así queda.

MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES MIXTAS. OPERACIONES DE FRACCIONES. PASOS A SEGUIR. MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES MIXTAS. Cuando tenemos fracciones mixtas, tenemos que pasarlas a fracciones comunes propias. ( 2 ) ( 2 ) X- X+ = X+1 X+2 Multiplicamos el denominador por el entero y le sumamos o le restamos el numerador según la ley de los signos. Igual le hacemos a la segunda fracción mixta, y el denominador se repite. X (x+1) -2 x+1 X +x-2 x+1 = = X (x+1)+2 x+2 X+2x+2 x+2 = = ( ) ( ) (x-1)(x+2) x+1 = (x+1)(x+1) x+2 Resolvemos el polinomio común. Se factoriza los resultados. Y se eliminan los términos semejantes.

Fracción Mixta: Es la que tiene entero con una fracción común * Fracción Mixta: Es la que tiene entero con una fracción común. * Fracción común propia: Es la que consta de un numerador y un denominador.

continuación del ejemplo anterior. OPERACIONES DE FRACCIONES. PASOS A SEGUIR. continuación del ejemplo anterior. Ya que eliminamos los términos semejantes nos queda. ( ) ( ) (x-1)(x+2) x+1 = (x+1)(x+1) x+2 Se resuelve la multiplicación del polinomio. ( ) ( ) x +x-x-1 1 = x-1 1 x+1 1 = Se eliminan términos semejantes. Y se divide el -1/1 x_-1_ 1 = Resultado final

DIVISION DE FRACCIONES. OPERACIONES DE FRACCIONES. PASOS A SEGUIR. DIVISION DE FRACCIONES. En las fracciones de división tenemos que multiplicar el numerador de la primera fracción con el denominador de la segunda y el resultado se coloca en el numerador, y viceversa el numerador por el denominador y el resultado se pone en el denominador, las operaciones son en zigzag. 29 ÷ 11 4 5 29 ÷ 11 145 44 13 = = 3 4 5 44 29x5=145 11x4= 44 Si se puede se reduce la fracción o también se puede dividir y pasar a una fracción mixta. Y así se termina 145÷44= 3 13 44

DIVISION DE FRACCIONES. OPERACIONES DE FRACCIONES. PASOS A SEGUIR. DIVISION DE FRACCIONES. Se multiplica el numerador de la primera fracción con el denominador de la segunda y el resultado se coloca en el numerador, y viceversa el numerador por el denominador y el resultado se pone en el denominador. x-1 ÷ 2x-2 3 6 x-1 ÷ 2x-2 6x-6 1 = = 3 6 6x-6 x-1 x 6 = 6x-6 Eliminamos los términos semejantes, hacemos la división correspondiente y finalizamos la operación. 2x-2 x 3=6x-6

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN COMBINADAS. OPERACIONES DE FRACCIONES. PASOS A SEGUIR. La primera fracción se va a multiplicar por la segunda como una multiplicación sencilla (numerador por numerador y denominador por denominador). MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN COMBINADAS. 3x_ x 8y ÷ z_ = 4y 9x 3x 3x x 8y=24xy El resultado de la multiplicación se multiplica por la segunda fracción como la división normal en zigzag (numerador por el denominador y el resultado en el numerador y viceversa). Tomando en cuenta la leyes de los exponentes. 4y x 9x=36xy 24xy ÷ z_ 72x y = = 36xy 3x 36xyz 24xy x 3x =72x y 36xy x z =36xyz

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN COMBINADAS. OPERACIONES DE FRACCIONES. PASOS A SEGUIR. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN COMBINADAS. Reducimos términos semejantes. Cuando es división los exponentes se restan. 72x y_ 2x z = 36xyz 72 ÷ 36=2 Como resultado nos queda. x ÷ x=x