UN Luis Alfredo Gutiérrez payanene -g1e12luis- 14-06-2015 Fundamentos de Física Moderna Modelos Atómico de Bohr para el átomo de hidrógeno UN Luis Alfredo Gutiérrez payanene -g1e12luis- 14-06-2015

Niels Bohr Niels Bohr (1885-1962)  fue un físico danés que aplicó por primera vez la hipótesis cuántica a la estructura atómica, a la vez que buscó una explicación a los espectros discontinuos de la luz emitida por los elementos gaseosos. Todo ello llevó a formular un nuevo modelo de la estructura electrónica de los átomos que superaba las dificultades del átomo de Rutherford. 

Modelo de Bohr para el átomo de hidrógeno Al mismo tiempo (1913) que Bohr establecía la relación entre las longitudes de onda espectrales y los niveles de energía, propuso un modelo del átomo de hidrógeno. Desarrolló sus ideas mientras trabajaba en el laboratorio de Rutherford. Con este modelo, que ahora se llama modelo de Bohr, pudo calcular los niveles de energía del hidrógeno, y obtener su concordancia con los valores determinados a partir de los espectros.

Postulados de Bohr para el átomo de hidrógeno El electrón se mueve en órbitas circulares alrededor del protón bajo la influencia de fuerza eléctrica de atracción, como se muestra en la figura. Sólo ciertas órbitas del electrón son estables. Cuando está en alguno de estos estados estacionarios, como los llamaba Bohr, el electrón no emite energía en forma de radiación. En consecuencia, la energía total del átomo permanece constante y puede utilizarse la mecánica clásica para describir el movimiento del electrón. El modelo de Bohr afirma que el electrón acelerado de manera centrípeta no emite radiación continua, perdiendo energía y finalmente girando en los núcleos, como predijo la física clásica según el modelo planetario de Rutherford. La radiación es emitida por el átomo cuando el electrón hace una transición de una órbita inicial más energética a una órbita de menor energía. Esta transición no puede visualizarse ni tratarse de manera clásica. En particular, la frecuencia ƒ del fotón emitida en la transición se relaciona con el cambio en la energía del átomo y no es igual a la frecuencia del movimiento orbital del electrón. Además, la energía en un fotón incidente puede ser absorbida por el átomo, pero sólo si el fotón tiene una energía que iguala de manera exacta la diferencia en energía entre un estado permitido del átomo y un estado de energía superior. Una vez ocurrida la absorción, el fotón desaparece y el átomo hace una transición al estado de energía superior. El tamaño de la órbita permitida del electrón queda determinado por una condición impuesta sobre la cantidad de movimiento angular orbital del electrón: las órbitas permitidas son aquellas para las cuales la cantidad de movimiento angular orbital del electrón en relación con el núcleo se cuantiza y es igual a un múltiplo entero de h/2π

Modelo de Bohr La suposición 3 implica cualitativamente la existencia de un espectro de línea de emisión característico discreto y también un correspondiente espectro de línea de absorción para el hidrógeno. Con estas cuatro suposiciones, se calculan los niveles de energía permitidos y los valores cuantitativos de las longitudes de onda de las emisiones del átomo de hidrógeno. Por lo tanto, la energía total del átomo, la cual está constituida por la energía cinética del electrón y la energía potencial del sistema, es: 𝐸=𝐾+𝑈= 1 2 𝑚 𝑒 𝑣 2 − 𝑘 𝑒 𝑒 2 𝑟 El electrón es una partícula en movimiento circular uniforme, así que la fuerza 𝑘 𝑒 𝑒 2 𝑟 2 ejercida sobre el electrón debe ser igual al producto de su masa y su aceleración centrípeta 𝑎 𝑐 = 𝑣 2 /𝑟:

Modelo de Bohr Por la ecuación anterior, la energía cinética del electrón es igual a: Al sustituir este valor de K en la ecuación anterior, se encuentra que la energía total del átomo es igual a: Porque la energía total es negativa, lo que indica un sistema electrón y protón unidos, es necesario adicionarle al átomo energía en la cantidad de para remover el electrón y hacer que la energía total del sistema sea igual a cero. Para obtener una expresión para r, los radios de las órbitas permitidas, igualando los resultados con la ecuación :

Modelo de Bohr La órbita con el radio más pequeño, llamado el radio de Bohr a0 , corresponde a n = 1 y tiene el valor: Al sustituir la ecuación se obtiene la expresión general para el radio de cualquier órbita en el átomo de hidrógeno: La teoría de Bohr predice el valor del radio de un átomo de hidrógeno con un orden correcto de magnitud, en términos de mediciones experimentales. Este resultado fue un triunfo impactante para la teoría de Bohr. La cuantización de los radios de la órbita conduce a la cuantización de la energía. Alsustituir 𝑟 𝑛 = 𝑛 2 𝑎 0 se obtiene: 𝐸 𝑛 =− 𝑘 𝑒 𝑒 2 2 𝑎 0 1 𝑛 2 𝑛=0, 1, 2,…