P y E 2012 Clase 8Gonzalo Perera1 Repaso de clase anterior Distribuciones multivariadas.

Ejemplo 2: La llamada telefónica. Supongamos que la duración de distintas llamadas telefónicas son variables iid de distribución exponencial de parámetro λ. Veamos entonces la ocupación de línea de n llamadas consecutivas. P y E 2012 Clase 8Gonzalo Perera2

P y E 2012 Clase 8Gonzalo Perera3 Método geométrico de cálculo de distribuciones P(g(X,Y) ≤t)=P((X,Y)  C)= ∫ C f (X,Y) (u,v)dudv

P(X+Y≤t)= ∫ R ∫ (-∞,t-v) f (X,Y) (u,v)du dv Derivando: f X+Y (t)= ∫ R f (X,Y) (t-v,v) dv P y E 2012 Clase 8Gonzalo Perera4 Aplicándolo a g(X,Y)=X+Y

Si X e Y independientes f X+Y (t)= ∫ R f X (t-v) f Y (v) dv = f X * f Y (t) (producto de convolución) (pasaje por filtro lineal) P y E 2012 Clase 8Gonzalo Perera5

Paréntesis: La convolución en la Ingeniería1. P y E 2012 Clase 8Gonzalo Perera6 Como se ha dicho, la convolución representa físicamente el pasaje por un filtro lineal. En efecto si f es una señal que constituye el input de un filtro lineal y g es una función característica del filtro, llamada a menudo núcleo, la salida o output es la convolución f*g. Veremos varios ejemplos de este esquema FILTRO INPUT f Núcleo g OUTPUT f*g

Puede demostrarse rigurosamente que f*g=g*f es tan regular como la “mejor” de las dos funciones. Por ende, si se toma un filtro en el que g tenga infinitas derivadas, AUNQUE f SEA MUY IRREGULAR, f*g tendra infinitas derivadas. Y como puede verse de la fórmula de convolución, si g es una densidad muy concetrada en torno al 0, entonces f*g se “parece mucho” a f. ESTO ES UN CASO MUY IMPORTANTE (los filtros de “suavizado” o “regularización”): dado un input muy irregular dan un output que es “casi igual”, pero “suave” o “regular”, lo cual ayuda mucho a la percepción, por ejemplo. P y E 2012 Clase 8Gonzalo Perera7

Veamos un ejemplo: Veamos un ejemplo: INPUT:f(x)=1 si x  (0,1), 0 si no. NUCLEO: g(x) la densidad de una N(0,0.0025) OUTPUT: Queda como ejercicio verificar que f*g(t)=Φ(20(1-t))- Φ(-20t). Veamos las gráficas de las 3 funciones P y E 2012 Clase 8Gonzalo Perera8

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Aquí se ve claramente que el INPUT celeste al pasar por el NUCLEO AZUL da lugar a un OUPUT BLANCO que es casi igual, pero suavizado, sin discontinuidades ni angulosidades. Como es difícil de percibir sensorialmente o interpretar racionalmente lo extremadamente irregular, la convolución una de las utilidades que tiene es justamente el aportar FILTROS SUAVIZANTES. P y E 2012 Clase 8Gonzalo Perera10

Paréntesis: La convolución en la Ingeniería 2. P y E 2012 Clase 8Gonzalo Perera11 En la Ingeniería, la señales suelen pensarse “en el espacio de las frecuencias”, esto es descomponiendo una señal como la combinaciones periódicas correspondientes cada una a emitir una vibración en UNA frecuencia básica determinada. Esto es el llamado “análisis espectral” de una señal, que, desde el punto de vista matemático, reposa en el Análisis Armónico, legado por Fourier y otros grandes matemáticos. El poner más o menos amplificación al emitir, en cada una de las distintas frecuencias básicas da lugar a señales muy distintas. Veamos un ejemplo

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El análisis espectral es muy natural en la Ingeniería, pero no todas las señales tienen espectro discreto como las anteriores: hay muchas que distribuyen su energía en un continuo de frecuencias. Hay un mecanismo matemático para pasar de la señal en el tiempo a la señal espectral y viceversa. P y E 2012 Clase 8Gonzalo Perera13

Si i es la unidad imaginaria ( i 2 =-1) y f(t) es la señal en el tiempo, la respresentación espectral (en el espacio de frecuencias) la da su transformada de Fourier: T(f)(λ)= ∫ R f(t)exp(-i λt)dt Dejamos como ejercicio para el lector mostrar que T(f*g)=T(f)T(g). P y E 2012 Clase 8Gonzalo Perera14

Esto significa que, en el espectro (en el espacio de las frecuencias), si llamamos “Función de respuesta” de un filtro lineal a la transformada de Fourier de su núcleo, el esquema del slide 6 se simplifica enormemente P y E 2012 Clase 8Gonzalo Perera15 FILTRO Función de respuesta H INPUT A OUTPUT AH EL OUTPUT ES SIMPLMENTE EL PRODUCTO DEL INPUT CON LA FUNCION DE RESPUESTA DEL FILTRO

f n (t)=λ (λt) n-1 /(n-1)! exp(- λt), t>0 P y E 2012 Clase 8Gonzalo Perera16 Si se suman n variables iid de distribución Exponencial de parámetro λ, la suma tiene densidad Retomando: La Distribución de Erlang y el Proceso de Poisson. y el Proceso de Poisson.

Demostración: Ejercicio (por inducción sobre n y fórmula de la convolución) f n se llama densidad de ERLANG de orden n y parámetro λ. (Veremos más adelante una sobresaliente contribución de Agner Erlang a la Teoría de la Probabilidad y a las Telecomunicaciones) P y E 2012 Clase 8Gonzalo Perera17

Continuando el ejemplo, ¿Cuántas llamadas llegan a completarse en (o,t)? Llamemos L(0,t) a dicha cantidad. Tenemos T 1,…..,T n, T n+1 iid y exponenciales de parámetro λ. P y E 2012 Clase 8Gonzalo Perera18

Si E n =T 1 +…+T n, E n+1 =E n +T n+1 entonces si n natural, P(L(0,t)=n)=P(E n t)= (condicionando por E n y usando principio de sustitución ) ∫ (0,t) f E n (s) P(T n+1 >t-s) ds= ∫ (0,t) ( λ (λt) n-1 /(n-1)!) exp(- λt) exp(- λ(t-s))ds= P y E 2012 Clase 8Gonzalo Perera19

=(λt) n /(n!) exp(- λt), por lo cual se deduce que: A) L(0,t) tiene distribución de Poisson de parámetro λt. Además puede verificarse que si a<b<c entonces B) L(a,b)y L(b,c) independientes. P y E 2012 ClasGonzalo Perera20

La función aleatoria L(a,b), con a<b se llama PROCESO DE POISSON de parámetro λ. Juega un rol fundamental en Investigación de Operaciones, Logística, Telecomunicaciones y en la Ingeniería de Performance. P y E 2012 Clase 8Gonzalo Perera21