EL MÉTODO DE LA SECANTE Y SECANTE MODIFICADA Métodos Abiertos
El Método de la Secante Se deriva del método de Newton-Raphson Se aproxima la derivada mediante diferencia finita dividida hacia atrás
Fórmula de la Secante Se obtiene la fórmula de la secante: Se observa que este método requiere 2 valores iniciales de x. Sin embargo, no se necesita que f(x) cambie de signo, por lo que no es un método cerrado.
Algoritmo para la Secante 1) Se dan 2 valores: Xi y Xi-1 2) Se calcula f(xi) y f(xi-1) 3) Se obtiene Xi+1 mediante la fórmula de la secante 4) Se vuelve al paso 2 para encontrar una nueva raíz
Diferencia entre Secante y Falsa Posición Si recordamos la fórmula de la falsa posición: Y vemos la fórmula de la secante:
Diferencia entre Secante y Falsa Posición Se diferencian por la forma en que uno de los valores iniciales se reemplaza con la aproximación.
Ejemplo del Método de Secante Problema 6.5 (Chapra, Canale): Determine la menor raíz real de: a) Gráficamente b) Usando el método de la secante para un valor de Es con tres cifras significativas
Resolución Problema 6.5 a) Gráficamente x y -1 30.5 -0.5 4.56 -11 1 -11 1 -18.5 2 -7 3 8.5 4 13 5 -8.5
Resolución Problema 6.5 b) Por el método de la secante (Es<0.05%) Iteración xi-1 xi xi+1 Es(%) 1 -1 -0.2651 - 2 -0.4123 35.7 3 -0.3793 8.7 4 -0.3813 0.52 5 0.004
Método de la Secante Modificado Se aproxima la derivada de la función con un método de cambio fraccionario de la variable. Se reemplaza en la ecuación de Newton-Raphson
Fórmula de la Secante Modificada Con lo que se obtiene la fórmula de la secante modificada: Nótese que ahora solo se requiere un valor de x inicial y el valor del cambio fraccionario.
Ejemplo del Método de Secante Modificado Problema 6.7 (Chapra, Canale): Calcule la raíz real de x3.3=79, con el método de la secante modificado que cumpla con Es=0.1%. Intente diferentes valores de δ y analice los resultados.
Resolución Problema 6.7 Para δ=0.01 x=3.758707344 Iteración xi xi+δxi 3.5 3.535 3.7803 - 2 3.8181 3.7589 0.5 3 3.7964 3.7587 0.005
Resolución Problema 6.7 Para δ=0.1 x=3.758707344 Iteración xi xi+δxi 3.5 3.85 3.7723 - 2 4.1495 3.7592 0.3 3 4.1351 3.7587 0.01
Ejemplo Programado en MatLab …