Función lineal y sus aplicaciones Dirección de Formación Básica

Función lineal Habilidades a desarrollar: Al terminar el presente tema, usted estará en la capacidad de: Encontrar la regla de correspondencia de una función lineal. Graficar funciones lineales en el plano cartesiano. Calcular el valor numérico de una función lineal, teniendo en cuenta el algoritmo correspondiente. Resolver problemas de contexto real aplicando funciones lineales.

Función lineal Problema motivador: Según los pronósticos del Servicio Nacional de Meteorología e Hidrología (SENAMHI), esta semana, continuará incrementándose la temperatura. La información proporcionada es que hoy la temperatura será de 20° y luego, cada día que pase, la temperatura irá incrementándose en 0,25° ¿Usted puede pronosticar la temperatura del día 30? tiempo (t) Temperatura (T) 20,00 1 20,25 2 20,50 3 20,75 4 21,00 5 21,25 6 21,50 7 21,75 8 22,00 9 22,25 10 22,50 Temperatura en C° día

Función lineal Función constante Una función cuyo rango esté constituido por un solo número se llama función constante. De esta manera, si 𝑓 𝑥 =𝑘, y si 𝑘 es cualquier número real, entonces 𝑓 es una función constante y su gráfica es una recta horizontal a 𝑘 unidades del eje 𝑥. Ejemplo 1. Una función constante es 𝑓 𝑥 =4 Ejemplo 2. Una función constante es 𝑓 𝑥 =−2 Dom 𝑓 =ℝ Dom 𝑓 =ℝ Ran 𝑓 ={4} Ran 𝑓 ={−2}

Función lineal Función lineal Una función lineal se define como 𝑓 𝑥 =𝑚𝑥+𝑏 donde 𝑚 y 𝑏 son constantes y 𝑚≠0. Su grafica es una recta con pendiente 𝑚 y ordenada en el origen igual a 𝑏. Ejemplo 1. Una función lineal es 𝑓 𝑥 =3𝑥−2 Ejemplo 2. Una función lineal es 𝑓 𝑥 =−𝑥 Pendiente: 𝑚=3 Pendiente: 𝑚=−1 Ordenada en el origen: 𝑏=−2 Ordenada en el origen: 𝑏=0 Dom 𝑓 =ℝ Dom 𝑓 =ℝ Ran 𝑓 =ℝ Ran 𝑓 =ℝ

Función lineal Una característica de la recta es su “inclinación”. Veamos el siguiente gráfico L1 L2 En la figura, la recta 𝐿 1 crece más rápido, conforme va de izquierda a derecha, que la recta 𝐿 2 . En este sentido 𝐿 1 está más inclinada o empinada.

Función lineal Para medir la inclinación de una recta se usa la noción de pendiente. Cambio vertical = 7 – 3 Cambio horizontal = 3 – 1 pendiente = Cambio en 𝑦 Cambio en 𝑥 = Cambio vertical Cambio horizontal = 7−3 3−1 =2

Función lineal Recordemos la definición de pendiente de una recta no vertical: Sean P 𝑥 1 ; 𝑦 1 y Q( 𝑥 2 ; 𝑦 2 ) dos puntos diferentes sobre una recta no vertical. La pendiente de la recta es: Ejemplo: Halle la pendiente de la recta L que pasa por los puntos P(4;1) y Q(7;10) 4 1 7 10 m = =

Función lineal Ecuaciones de la recta 1. Forma punto-pendiente 2. Forma pendiente-intersección 𝑦 𝐿 𝑦 𝐿 ( 𝑥 1 ; 𝑦 1 ) (0;𝑏) (𝑥;𝑦) 𝑥 𝑥 𝐿:𝑦− 𝑦 1 =m 𝑥− 𝑥 1 𝐿:𝑦=m𝑥+𝑏 donde m es la pendiente de la recta y ( 𝑥 1 ; 𝑦 1 ) es un punto conocido de la recta. donde m es la pendiente de la recta y b es la ordenada del punto de intersección de la recta con el eje Y.

Función lineal Ejemplo 1. Encuentre la regla de correspondencia de una función lineal si se sabe que su recta tiene pendiente 2 y pasa por el punto (1;-3) Resolución Método 1 [Vamos a obtener la ecuación de la recta en la forma punto – pendiente] Datos: Pendiente: m=2 Punto de paso: 𝑥 1 ; 𝑦 1 =(1;−3) Método 2 [Utilizando la regla de correspondencia de una función lineal] Datos: Pendiente: m=2 Punto de paso: 𝑥;𝑓(𝑥) =(1;−3) Reemplazando en la ecuación de la recta en la forma punto – pendiente 𝐿:𝑦− 𝑦 1 =m 𝑥− 𝑥 1 Como la regla de correspondencia de una función lineal es 𝑓 𝑥 =m𝑥+𝑏 se tiene → 𝑦− −3 =2(𝑥−1) → 𝑦+3=2𝑥−2 → 𝑦=2𝑥−5 Usando la pendiente, queda 𝑓 𝑥 =2𝑥+𝑏 Utilizando el punto de paso, resulta → −3=2 1 +𝑏 → −3=2+𝑏 → −5=𝑏 Por tanto, la función lineal buscada es 𝑓 𝑥 =2𝑥−5 Por tanto, la función lineal buscada es 𝑓 𝑥 =2𝑥−5

Función lineal Ejemplo 2. Encuentre la regla de correspondencia de una función lineal si se sabe que su recta tiene pendiente 3 y corta al eje 𝑦 en −4. Resolución Vamos a obtener la ecuación de la recta en la forma pendiente-intersección Datos: Pendiente: m=3 Ordenada en el origen: 𝑏=−4 Reemplazando en la ecuación de la recta en la forma pendiente - intersección 𝐿:𝑦=m𝑥+𝑏 se tiene → 𝑦=3𝑥+ −4 → 𝑦=3𝑥−4 Por tanto, la función lineal buscada es 𝑓 𝑥 =3𝑥−4

Función lineal Ejemplo 3. Encuentre la regla de correspondencia de una función lineal si se sabe 𝑓 1 =5 y 𝑓 3 =11. Resolución Método 1 [Vamos a obtener la ecuación de la recta en la forma punto – pendiente] Datos: 𝑓 1 =5→ 𝑥 1 ; 𝑦 1 =(1;5) 𝑓 3 =11→ 𝑥 2 ; 𝑦 2 =(3;11) Método 2 [Utilizando la ecuación punto – pendiente de la recta] 𝑦− 𝑦 1 =𝑚 𝑥− 𝑥 1 ; 𝑚= 𝑦 2 − 𝑦 1 𝑥 2 − 𝑥 1 Del dato: 𝑓 1 =5 se obtiene el punto de paso A 1;5 . De aquí 𝑥 1 =1; 𝑦 1 =5 Hallando la pendiente de la recta: m= 𝑦 2 − 𝑦 1 𝑥 2 − 𝑥 1 = 11−5 3−1 = 6 2 =3 Del dato: 𝑓 3 =11 se obtiene el punto de paso 𝐵 3;11 . De aquí 𝑥 2 =3; 𝑦 2 =11 En la ecuación de la recta (forma punto – pendiente) 𝑦− 𝑦 1 =m 𝑥− 𝑥 1 → 𝑦−5=3 𝑥−1 → 𝑦−5=3𝑥−3 → 𝑦=3𝑥+2 Con ello 𝑚= 𝑦 2 − 𝑦 1 𝑥 2 − 𝑥 1 = 11−5 3−1 = 6 2 =3 En la ecuación de la recta 𝑦− 𝑦 1 =𝑚 𝑥− 𝑥 1 → 𝑦−5=3 𝑥−1 Por tanto, la función lineal buscada es 𝑓 𝑥 =3𝑥+2 𝑦−5=3𝑥−3 → 𝑦=3𝑥+2 ∴𝑓 𝑥 =3𝑥+2

Función lineal Ejemplo 4. Encuentre la regla de correspondencia de la función lineal 𝑓 cuya representación gráfica es Del punto de paso A = (-3; 2) se tiene que 𝑓 −3 =−2 → −3𝑎+𝑏=−2 Del punto de paso B = (2; 4) se tiene que 𝑓 2 =4 → 2𝑎+𝑏=4 Formulamos el sistema de ecuaciones lineales Resolución −3𝑎+𝑏=−2 2𝑎+𝑏=4 → 𝑎= 6 5 𝑏= 8 5 Como la función 𝑓 es lineal, entonces su forma es 𝑓 𝑥 =𝑎𝑥+𝑏, con 𝑎≠0. Respuesta: 𝑓 𝑥 = 6 5 𝑥+ 8 5 para −3≤𝑥<2 De la gráfica se identifica los puntos de paso A = (-3; -2) y B = (2; 4)

Función lineal Ejemplo 5. Encuentre la regla de correspondencia de la función 𝑓 cuya representación gráfica es Por tanto 𝑓 𝑥 =−𝑥+4 para 0≤𝑥<3 De la Recta 2, tenemos Recta 1 𝑓(−2)=0 𝑓(0)=2 → −2𝑎+𝑏=0 0𝑎+𝑏=2 → 𝑎=1 𝑏=2 Recta 2 Por tanto 𝑓 𝑥 =𝑥+2 para −2<𝑥<0 Respuesta Resolución 𝑓 𝑥 = −𝑥+4 si 0≤𝑥<3 𝑥+2 si −2<𝑥<0 −1 si 𝑥≤−2 De la Recta 1, tenemos 𝑓(0)=4 𝑓(3)=1 → 0𝑎+𝑏=4 3𝑎+𝑏=1 → 𝑎=−1 𝑏=4

Función lineal Conclusiones: La forma de una función lineal es 𝑓 𝑥 =𝑚𝑥+𝑏 con 𝑚≠0. La gráfica de una función lineal es una línea recta que tiene pendiente 𝑚 y ordenada en el origen 𝑏. Si 𝑚>0 entonces la función es creciente. Si 𝑚<0 entonces la función es decreciente. Si 𝑚=0 entonces la función es constante, por tanto, su gráfica es una línea horizontal.

Función lineal Bibliografía [1] Arya, Jagdish C. (2009) Matemática aplicada a la Administración. Ed 5. México, D.F. Pearson. [2] Haeussler, Ernest F. (2008). Matemática para Administración y Economía. Ed 12. Pearson Educación.