Matemáticas 4º ESO Opción B MEDIDAS DE DISPERSIÓN Tema 13.6 * 4º ESO Opc B @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Medidas de DISPERSIÓN Nos dan una idea clara, aunque comprimida, de la desviación de los valores en una serie estadística respecto de la media. RANGO O RECORRIDO Es la diferencia entre los valores mayor y menor de la variable. Cuando la variable sea continua el recorrido será la diferencia entre el valor superior de la última clase y el valor inferior de la primera. DESVIACIÓN Es la diferencia entre un valor y la media aritmética de la serie. Pueden ser valores negativos o positivos. La suma aritmética de todas las desviaciones de una serie es cero. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B DESVIACIÓN MEDIA Es la media aritmética de la suma de valores absolutos de todas las desviaciones de una serie. ∑ fi.| xi - x | Dm = -------------------, que da siempre un valor positivo. ∑ fi Se emplea para comparar dos series semejantes. VARIANZA Es la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones respecto de la media. Existen dos formas de calcularla, empleando una u la otra según la columna que tengamos en la Tabla: ∑ [ (xi - x)2. fi ] o ∑ xi2 . fi ∑ [ (xi - x)2 . fi ] ∑ xi2 . fi V = ---------------------- = ------------- -- x2 ∑ fi ∑ fi @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B DESVIACIÓN TÍPICA Es la raíz cuadrada de la varianza. Lo que significa que la Varianza es siempre positiva. s=√V Junto con la media, es la medida que más se emplea en estadística Es siempre de valor positivo, pues como veremos después tiene la característica de radio de un entorno de centro la media. COEFICIENTE DE VARIACIÓN Es el cociente de la desviación típica por la media aritmética. CV = s / x , que suele darse en porcentajes. Consecuencia: Si el resultado es mayor del 30%, en lugar de la media emplearemos la mediana o la moda para tomar todo tipo de decisiones. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Media y Desviación Típica El 68% de todos los valores que puede tomar x se encuentran entre (x-σ) y (x+σ) 68 % x – s x x + s @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Media y Desviación Típica 68 % x-3.s x-2.s x-s x x+s x+2.s x+3.s 95 % 99 % @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B EJEMPLO 1: Calificaciones de 25 alumnos de una clase Completamos la tabla, pues la Media es x=113,3/25=4,53 xi fi xi,fi xi – x fi.| xi - x | (xi – x)2 fi. (xi – x)2 2,80 1 – 1,73 1,73 3,00 3,20 4 12,80 – 1,33 5,32 1,77 7,08 3,90 3 11,70 – 0,63 1,89 0,40 1,20 4,20 6 25,20 – 0,33 1,98 0,11 0,66 5,00 20,00 0,47 1,88 0,22 0,88 5,60 16,80 1,07 3,21 1,14 3,42 6,00 24.00 1,47 5,88 2,16 8,64 Σ 25 113,30 21,89 24,88 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B MEDIDAS DE DISPERSIÓN EJEMPLO 1 RANGO Rango = 6 – 2,8 = 3,20 DESVIACIÓN MEDIA ∑ fi.| xi - x | 21,89 Dm = ------------------- = ---------- = 0,8756 ∑ fi 25 VARIANZA ∑ [ (xi - x)2 . fi ] 24,88 V = ---------------------- = ----------- = 0,9952 ∑ fi 25 DESVIACIÓN TÍPICA s=√0,995 = 0,9975 COEFICIENTE DE VARIACIÓN CV = s / x = 0,9975 / 4,53 = 0,22 = 22 % RELACIÓN MEDIA- -DESVIACIÓN T. x – s = = 4,53 – 0,9975 = = 3,5325 x + s = = 4,53 + 0,9975 = = 5,5275 El 68% de los alumnos han obtenido una nota entre 3,53 y 5,52 puntos. 68 % de 25 = =0,68.25 = 17 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B EJEMPLO 2: Estatura de los 80 alumnos de 4º ESO Completamos la tabla, pues la Media es x = 145 / 80 = 1,81 m.c. (xi) f i xi,fi xi – x fi.| xi - x | (xi-x)2 fi. (xi-x)2 [1,65 – 1,70) 1,675 6 10,05 – 0,135 0,81 0,01825 0,1095 [1,70 – 1,75) 1,725 12 20,70 – 0,085 1,02 0,00725 0,0870 [1,75 – 1,80) 1,775 30 52,25 – 0,035 1,05 0,00125 0,0375 [1,80 – 1,85) 1,825 22 43,15 0,015 0,33 0,00025 0,0055 [1,85 – 1,90) 1,875 8 15,00 0,065 0,52 0,00425 0,0340 [1,90 – 1,95) 1,925 2 3,85 0,115 0,23 0,01325 0,0265 Σ 80 145 3,96 0,301 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B MEDIDAS DE DISPERSIÓN EJEMPLO 1 RANGO Rango = 1,95 – 1,65 = 0,30 DESVIACIÓN MEDIA ∑ fi.| xi - x | 3,96 Dm = ------------------- = ---------- = 0,0495 ∑ fi 80 VARIANZA ∑ [ (xi - x)2 . fi ] 0,301 V = ---------------------- = ----------- = 0,00376 ∑ fi 80 DESVIACIÓN TÍPICA s=√0,00376 = 0,061 COEFICIENTE DE VARIACIÓN CV = s / x = 0,061 / 1,81 = 0,0339 = 3,39 % RELACIÓN MEDIA- -DESVIACIÓN T. x – s = = 1,81 – 0,061 = = 1,749 x + s = = 1,81 + 0,061 = = 1,871 El 68% de los alumnos tiene una altura entre 1,749 y 1,871 m. 68 % de 80 = =0,68.80 = 54,4 = = 54 alumnos @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Ejemplo_3 Calificaciones de 100 alumnos de una clase en Matemáticas Atención: Las columnas son diferentes de ejemplos anteriores xi fi xi fi xi2 fi xi2 3 40 120 9 360 5 30 150 25 750 7 210 49 1470 100 480 2580 DESVIACIÓN TÍPICA S = √V =√2,76 = 1,66 COEFICIENTE DE VARIACIÓN CV = s / x = 1,66 / 4,8 = 0,346 VARIANZA ∑ fi .xi 2 V = ------------- - x 2 = 25,80 – 4,82 ∑ fi V = 2,76 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Ejemplo_4 Calificaciones de 100 alumnos de una clase en Matemáticas Atención: Las columnas son diferentes de ejemplos anteriores clases xi = m.c. fi xi fi xi 2 fi xi 2 [0,5 , 3,5] 2 40 80 4 160 (3,5 , 6,5] 5 30 150 25 750 (6,5 , 9,5] 8 240 64 1920 100 470 93 2830 VARIANZA ∑ fi .xi 2 V = ------------- - x 2 = 28,30 – 4,72 ∑ fi V = 6,21 DESVIACIÓN TÍPICA S = √V =√6,21 = 2,49 COEFICIENTE DE VARIACIÓN CV = s / x = 2,49 / 4,7 = 0,53 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Ejemplo_5 Calificaciones de 100 alumnos de una clase en Matemáticas Atención: Las columnas son diferentes de ejemplos anteriores xi fi xi fi xi2 fi xi2 3 10 30 9 90 5 80 400 25 2000 7 70 49 490 100 500 2580 MEDIA x = 500 / 100 = 5 DESVIACIÓN TÍPICA S = √V =√0,80 = 0,90 COEFICIENTE DE VARIACIÓN CV = s / x = 0,9 / 5 = 0,18 = 18% VARIANZA ∑ fi .xi 2 V = ------------- - x 2 = 25,80 – 52 ∑ fi V = 0,80 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Ejemplo_4 Calificaciones de 100 alumnos de una clase en Matemáticas Atención: Las columnas son diferentes de ejemplos anteriores clases xi = m.c. fi xi fi xi 2 fi xi 2 [0,5 , 3,5] 2 40 80 4 160 (3,5 , 6,5] 5 20 100 25 500 (6,5 , 9,5] 8 320 64 2560 3220 MEDIA x = 500 / 100 = 5 DESVIACIÓN TÍPICA S = √V =√7,20 = 2,68 COEFICIENTE DE VARIACIÓN CV = s / x = 2,68 / 5 = 0,54 = 54% VARIANZA ∑ fi .xi 2 V = ------------- - x 2 = 32,20 – 52 = ∑ fi V = 7,20 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B