Apuntes 2º Bachillerato C.T. LÍMITES EN EL INFINITO TEMA 10.2 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. LIMITES EN EL INFINITO LIMITES EN EL INFINITO El límite de una función f, cuando x tiendo a ± oo, es L si para cualquier sucesión de valores de x que tienda a 00, el límite de la sucesión de las correspondientes imágenes es L. lím f(x) = L x ± oo En caso de existir límite en el infinito decimos que f presenta una asíntota horizontal. Ejemplo: y = x/( x-3) del ejemplo anterior Para x = 1000  y = 1000/997 = 1,003 Para x=10000  y = 10000/9997 = 1,0003 Para x = 100000  y = 1,00003 Está claro que por mucho que aumente la variable x, el valor de y cambia muy poco y además se acerca a y=1, aunque nunca llega. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. ASÍNTOTAS Y 1 ASÍNTOTAS Se llaman asíntotas o ramas infinitas de una función racional aquellas rectas con las que la función tiende a coincidir, aproximándose a ellas tanto como queramos, en el infinito. Asíntota vertical Asíntota horizontal Asíntota oblicua. 0 3 x @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. Mín Max @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. ASÍNTOTAS VERTICALES ASÍNTOTAS VERTICALES La recta x = a es una asíntota vertical de la función f si: Lím f(x) = ± oo x a Pueden ser asíntotas verticales todas las rectas x=a, donde “a” no forma parte del dominio de las funciones racionales. EJEMPLO_1 Sea la función f(x) = 3 / (x – 2) En x = 2 la función no existe. Lím f(x) = Lím ( 3 / (x – 2) = 3 / (2-2) = 3 / 0 = oo x 2 x  2 x = 2 es una Asíntota Vertical. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

ASÍNTOTAS HORIZONTALES La recta y = b es una asíntota horizontal de la función f(x) si: Lím f(x) = b x ± oo En la práctica si una función presenta asíntotas verticales y asíntotas horizontales, podemos descartar en la mayoría de los casos que presente asíntotas oblicuas. Ejemplo_1 Sea la función f(x) = 1 / x Lím f(x) = Lím 1 / x = 1 / oo = 0 x oo La recta y = 0 es una Asíntota Horizontal. La función f(x) = k / (x – m) , para cualquier valor real de k y de m, tendría un comportamiento similar a la del ejemplo cuando x  ± oo @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. ASÍNTOTAS OBLICUAS ASÍNTOTAS OBLICUAS La recta y = m.x + n es una asíntota oblicua de la función f si: f(x) Lím ------ = m y Lím [ f(x) – m.x ] = n x ± oo x x± oo En la práctica, siempre que una función racional no presente asíntotas horizontales debemos suponer que existen asíntotas oblicuas. Ejemplo_1 Sea la función: f(x) = (x2 – 3) / x f(x) x2 – 3 m = Lím ------ = Lím -------- = 1 ; n = Lím [ f(x) – m.x ] = 0 x oo x x oo x2 xoo La recta y = 1.x + 0  y = x es una asíntota oblicua. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. Gráfica Ejemplo_1 Y 1 x2 – 3 f(x) = -------- x Límite por la derecha de 0: x2 – 3 – 3 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = - oo x0+ x +0 pues x vale algo más de 0. Límite por la izquierda de 0: lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = + oo x0- x - 0 0 3 x @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. Gráfica Ejemplo_2 Y x2 + 3 f(x) = -------- x Límite por la derecha de 0: x2 + 3 +3 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = + oo x0+ x +0 pues x vale algo más de 0. Límite por la izquierda de 0: x2 + 3 + 3 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = - oo x0- x - 0 Mín 0 3 x Max @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.