DIVISIÓN DE POLINOMIOS ESPAD III * TC 11 DIVISIÓN DE POLINOMIOS

DIVISIÓN DE POLINOMIOS El resultado de dividir monomios o polinomios entre sí no siempre va a ser un monomio o un polinomio. Ejemplos: 6.x4 : 2.x = (6/2).x3 = 3.x3 , que es un monomio. 6.x : 3.x2 = 2 / x , que no es un monomio. (6.x4 - 2.x) : 2.x = 3.x3 - 1, que es un polinomio (4.x - 6.x4 ) : 3.x = (4/3) – 2.x3 , que es un polinomio (6.x4 - 2.x) : x2 = 6.x2 - 2/x, que no es un polinomio

DIVISIÓN ENTERA DE POLINOMIOS Las reglas operativas son : 1.‑ Reducir dividendo y divisor. 2.‑ Ordenador dividendo y divisor de forma decreciente. 3.‑ Si el dividendo es incompleto, dejar huecos. 4.‑ Aplicar el algoritmo correspondiente para dividir. 5.‑ Terminar cuando el grado del resto sea menor que el grado del divisor. 6.- Comprobar el resultado,pues siempre se cumplirá: D(x) = d(x).c(x) + r(x).

ALGORITMO DE LA DIVISIÓN Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor. Lo que da es el primer término del cociente. Se multiplica el primer término del cociente hallado por todo el divisor. Lo que da hay que restárselo al dividendo. Obtenemos así un nuevo dividendo. Y se repiten las anteriores operaciones para conseguir los restantes términos del cociente.

Ejemplo_1 División de polinomios 1.- a) Sea P(x) = 6.x4 + 4.x3 - 5.x2 y Q(x) = 2.x2 Hallemos P(x) : Q(x) 6.x4 + 4.x3 - 5.x2 6.x4 4.x3 5.x2 ------------------------ = ---- + ------ - ------ = 3.x2 + 2.x - 5 / 2 2.x2 2x2 2.x2 2.x2 El resultado es un polinomio. 1.- b) Sea P(x) = x3 + 4.x2 - 5 y Q(x) = x x3 + 4.x2 - 5 x3 4.x2 5 ------------------ = ---- + ------ + ---- = x2 + 4.x – 5/x x x x x El resultado no es ni un monomio ni un polinomio.

Ejemplo_2 de división de polinomios Sea P(x) = x3 + 4.x2 - 5 y Q(x) = x + 5 Hallemos P(x) : Q(x) 1.- Están ya ambos reducidos. 2.- Están ya ambos ordenados decrecientemente. 3.- El dividendo es incompleto, luego hay que dejar hueco en el término de x. 4.- Aplicamos el algoritmo para dividir:

x3 + 4.x2 - 5 x + 5 x2 Pues x3 : x = x2 x3 + 4.x2 - 5 x + 5 - x3 - 5.x2 x2 Pues se multiplica x2. (x +5) Y como vamos a restar lo que nos dé se cambia de signo.

x3 + 4.x2 - 5 x + 5 - x3 - 5. x2 x2 - x2 - 5 Se repite las operaciones: x3 + 4.x2 - 5 x + 5 - x3 - 5. x2 x2 – x + 5 - x2 - 5 x2 + 5.x - 5 5.x - 5 - 5.x - 25 - 30

5.- Como el resto ( - 30) es de grado menor que el divisor (x + 5) se habrá terminado la división. c(x) = x2 - x + 5 r(x) = - 30 6.- Se comprueba que D(x) = d(x).c(x)+r(x) x3 + 4.x2 - 5 = (x + 5).(x2 - x + 5) + (-30) x3 + 4.x2 - 5 = x3 - x2 + 5.x + 5.x2 - 5.x + 25 -30 x3 + 4.x2 - 5 = x3 + 4.x2 - 5

Ejemplo 3 de división de polinomios Sea P(x) = x3 + 4.x2 - 2.x + 5 y Q(x) = x2 + 5 Hallemos P(x) : Q(x) 1.- Están ya ambos reducidos. 2.- Están ya ambos ordenados decrecientemente. 3.- Ambos son polinomios completos, luego no hay que dejar huecos. 4.- Aplicamos el algoritmo para dividir:

x3 + 4.x2 - 2.x + 5 x2 + 5 x Pues x3 : x2 = x - x3 - 5.x x Pues se multiplica x. (x2 +5) Y como vamos a restar lo que nos dé se cambia de signo.

x3 + 4.x2 - 2.x + 5 x2 + 5 - x3 - 5.x x 4.x2 - 7.x + 5 Se repite las operaciones: - x3 - 5.x x + 4 - 4.x2 - 20 - 7.x - 15

x3 + 4.x2 - 2.x + 5 x2 + 5 - x3 - 5.x x + 4 4.x2 - 7.x + 5 - 4.x2 - 20 - 7.x - 15 5.- Como el resto ( -7.x – 15) es de grado menor que el dividor (x2 + 5) se habrá terminado la división. C(x) = x+4 R(x) = - 7.x – 15 6.- Se comprueba que D(x) = d(x).C(x)+R(x)

REGLA DE RUFFINI Cuando se trate de dividir un polinomio P(x) entre un binomio de la forma (x - a), siendo a un número, la división de puede realizar de una forma más rápida y precisa: 1.‑ Se reduce el dividendo. 2.‑ Se ordena el dividendo forma decreciente. 3.‑ Si el dividendo es incompleto, poner ceros. 4.‑ Se colocan en fila los coeficientes del dividendo, incluídos los ceros. 5.- Se coloca a la izquierda el valor del número a. 6.- Se aplicar el algoritmo correspondiente de Ruffini. 7.‑ Los números obtenidos son los coeficientes del cociente, salvo el último que es el resto de la división. 8.- Se puede comprobar el resultado,pues siempre se cumplirá: D(x) = d(x).c(x) + r(x).

Ejemplo_1 de división por Ruffini Sea ( x3 + 4.x2 - 5 ) : ( x - 3 ) , donde a = 3 1 4 0 - 5 + 3 3 21 63 1 7 21 58 C(x) = 1.x2 + 7.x + 21 R(x) = 58 Podemos comprobar la división: (x3 + 4.x2 - 5) = (x - 3).(x2 + 7.x + 21) + 58

Ejemplo_2 de división por Ruffini Sea ( x3 + 4.x2 - 5 ) : ( x + 5 ) , donde a = - 5 1 4 0 - 5 + - 5 - 5 5 - 25 1 - 1 5 - 30 C(x) = 1.x2 - 1.x + 5 R(x) = - 30 Podemos comprobar la división: (x3 + 4.x2 - 5) = (x + 5 ).(x2 - x + 5) + (- 30)

Ejemplo_3 de división por Ruffini Sea ( 4.x3 + 5.x - 3 ) : ( x + 2 ) , donde a = - 2 4 0 5 - 3 + - 2 - 8 16 - 42 4 - 8 21 - 45 C(x) = 4.x2 - 8.x + 21 R(x) = - 45 Podemos comprobar la división: ( 4.x3 + 5.x - 3 ) = ( x + 2 ).(4.x2 - 8.x + 21) + (- 45)